@phdthesis{Tschierse2023, author = {Tschierse, S{\"o}ren}, title = {Spektraltheorie von unbeschr{\"a}nkten Jacobi-Operatoren im Hilbertschen Folgenraum und Sturm-Liouville-Problemen vom Atkinson-Typ}, doi = {10.26127/BTUOpen-6742}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-67421}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2023}, abstract = {Zur aktuellen Forschung regul{\"a}rer Sturm-Liouville-Probleme (SLP) geh{\"o}rt eine durch F. Atkinson definierte Klasse von Differentialgleichungen, deren Spektraltheorie unabh{\"a}ngig von der Operatorentheorie entwickelt wurde. In der vorliegenden Arbeit w{\"a}hlen wir einen neuen Zugang {\"u}ber die Theorie der unbeschr{\"a}nkten Hermiteschen Operatoren: Zu den SLP vom Atkinson-Typ werden {\"a}quivalente Matrix-Eigenwertprobleme AY = λY konstruiert, deren unendlich-dimensionale Matrizen A eine tridiagonale Gestalt besitzen. Die Matrizen A k{\"o}nnen aufgefasst werden als unbeschr{\"a}nkte Hermitesche Jacobi-Operatoren H des Hilbertschen Folgenraumes - jene Operatoren H sind mittels der Cayley-Transformation fortsetzbar zu (nicht eindeutigen) selbstadjungierten Operatoren S ⊃ H. Dabei werden die jeweiligen S durch die separierten Randbedingungen des zugrundeliegenden SLP charakterisiert. Hinsichtlich der Spektralanalyse wird der abstrakte Spektralsatz mit einbezogen, gem{\"a}ß welchem eine Stieltjes-Integraldarstellung zur Resolventen des Operators S existiert. Die Sprungstellen der Belegungsfunktion ϱ(λ) entsprechen den Eigenwerten von S; zugleich stimmen sie {\"u}berein mit den Eigenwerten des SLP vom Atkinson-Typ. Jene Sprungstellen sind lokalisierbar mittels der Theorie orthogonaler Polynome. Hierbei werden spezielle Polynome des Askey-Schemas betrachtet, f{\"u}r welche ϱ(λ) eine orthogonalisierende Belegungsfunktion darstellt. Wesentlich sind die Polynome f{\"u}r die Konstruktion holomorpher Funktionen, deren Nullstellen den Eigenwerten des SLP entsprechen.}, subject = {Sturm-Liouville-Theorie; Unbeschr{\"a}nkte Jacobi-Operatoren; Spektralsatz; Selbstadjungierte Fortsetzungen; Q-Laguerre Polynome; Sturm-Liouville theory; Unbounded Jacobi operators; Spectral theorem; Self-adjoint extensions; Q-Laguerre polynomials; Sturm-Liouville-Problem; Spektraltheorie; Hilbert-Raum; Selbstadjungierter Operator; Jacobi-Operator}, language = {de} } @phdthesis{Szerement2011, author = {Szerement, Claudia}, title = {L{\"o}sung des Dirichletproblems f{\"u}r G-minimale Graphen mit einer Kontinuit{\"a}ts- und Approximationsmethode}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-22088}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2011}, abstract = {Wir betrachten das Dirichletproblem f{\"u}r sogenannte \$G\$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalfl{\"a}chentyp, welche sich als Graph {\"u}ber einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix \$G\$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung f{\"u}r diese H{\"o}henfunktion her. Dann l{\"o}sen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten \$\Omega\$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuit{\"a}ts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zun{\"a}chst eine a priori \$C^{1+\alpha}\$-Absch{\"a}tzung der L{\"o}sung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen \$C^{2+\alpha}\$-Gebieten und \$C^{2+\alpha}\$-Randdaten zur{\"u}ckziehen. Mit einem Satz {\"u}ber die Graphenstabilit{\"a}t und -kompaktheit l{\"o}sen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuit{\"a}tsmethode. Anschließend f{\"u}hren wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. Mit einem Approximationsargument und einem parametrischen Kompaktheitssatz l{\"o}sen wir schließlich das urspr{\"u}ngliche Dirichletproblem.}, subject = {Dirichlet-Problem; Minimalfl{\"a}che; Approximation; Graphen vom Minimalfl{\"a}chentyp; Dirichletproblem; Kontinuit{\"a}tsmethode; Gewichtete Differentialgeometrie; Graphs of minimal surface type; Dirichlet problem; Continuity method; Weighted differential geometry}, language = {de} }