@phdthesis{Burtchen2019, author = {Burtchen, Angie}, title = {Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben {\"u}ber dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur L{\"o}sung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben pr{\"a}sentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl f{\"u}r die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches l{\"a}sst sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der {\"O}konomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen f{\"u}r zuk{\"u}nftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularit{\"a}ten im Zielfunktional umgehen zu k{\"o}nnen (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Dar{\"u}ber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt f{\"u}r ein indirektes L{\"o}sungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe {\"u}ber [0,∞) wird in gewichteten Funktionenr{\"a}umen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie m{\"o}glich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gew{\"a}hlt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zus{\"a}tzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der L{\"o}sung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalit{\"a}tsbedingung eine Bestimmungsgleichung f{\"u}r den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gew{\"a}hlten Approximationsans{\"a}tze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollst{\"a}ndiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum {\"u}ber (0,∞) repr{\"a}sentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalit{\"a}tsbedingung l{\"a}sst sich damit das L{\"o}sen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das L{\"o}sen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Spektralmethoden; Unendlicher Zeithorizont; Fourier-Laguerre-Reihen; Optimal control theory; Infinite horizon; Spectral methods; Fourier-Laguerre analysis; Optimale Kontrolle; Laguerre-Polynome; Spektralmethode}, language = {de} } @phdthesis{Ziemann2019, author = {Ziemann, Torsten}, title = {Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien f{\"u}r eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilbertr{\"a}umen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zust{\"a}nde Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu w{\"a}hlen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zul{\"a}ssigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast {\"u}berall punktweise konvergente Folgen zul{\"a}ssiger Zustandstrajektorien konvergieren gem{\"a}ß dem Satz von Lebesgue {\"u}ber die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carath{\´e}odory studiert. Die lokal absolut stetige L{\"o}sung l{\"a}sst sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es gen{\"u}gen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalit{\"a}tskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalit{\"a}tskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zur{\"u}ckgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien m{\"u}ndet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich nat{\"u}rliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So k{\"o}nnen mit der in dieser Arbeit pr{\"a}sentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bez{\"u}glich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.}, subject = {Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien; Pontryagin Maximumprinzip; Affin-lineare Dynamik; Optimal control; Infinite horizon; Necessary optimality criteria; Pontryagin maximum principle; Affin-linear dynamics; Steuerungstheorie; Optimale Kontrolle; Optimalit{\"a}tsbedingung; Pontrjagin-Maximumprinzip}, language = {de} }