@phdthesis{Lykina2010, author = {Lykina, Valeriya}, title = {Beitr{\"a}ge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makro{\"o}konomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Sch{\"a}dlingsbek{\"a}mpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gew{\"a}hlt. Dies ist einer der Schl{\"u}sselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenr{\"a}ume mit Vorteil f{\"u}r die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einf{\"u}hrung einer zus{\"a}tzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umst{\"a}nden die Existenz einer optimalen L{\"o}sung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gew{\"a}hrleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zul{\"a}ssigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalit{\"a}t testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung ber{\"u}cksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es S{\"a}tze {\"u}ber Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate {\"u}ber die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesguer{\"a}umen {\"u}ber einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes f{\"u}r die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingef{\"u}hrte Zustandsbeschr{\"a}nkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualit{\"a}tstheorie f{\"u}r Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenr{\"a}umen und die Herleitung hinreichender Optimalit{\"a}tsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Kl{\"o}tzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualit{\"a}tstheorie werden hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen zweiter Ordnung f{\"u}r starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschw{\"a}chte Version dieser Bedingungen unter Ber{\"u}cksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele pr{\"a}sentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zul{\"a}ssigen Bereichen f{\"u}hren oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abh{\"a}ngigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen S{\"a}tze wird ausf{\"u}hrlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.}, subject = {Optimale Kontrolle; Analysis; Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen; Existenzsatz; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Optimal control; Infinite horizon; Sufficient optimality conditions; Existence theorem; Weighted functional spaces}, language = {de} } @phdthesis{Wenzke2020, author = {Wenzke, Diana}, title = {Beitr{\"a}ge zu Problemen der Optimalsteuerung mit unendlichem Zeithorizont - Transformationseigenschaften}, doi = {10.26127/BTUOpen-5202}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-52026}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird f{\"u}r Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, f{\"u}r welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalit{\"a}tsbedingung enthalten. An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularit{\"a}ten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel f{\"u}r Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in nat{\"u}rlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevr{\"a}umen angeh{\"o}ren. Das erkl{\"a}rt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips f{\"u}r Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide S{\"a}tze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenr{\"a}ume Hilbertr{\"a}ume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel f{\"u}r Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der H{\"o}lderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gew{\"o}hnlichen Differentialrechnung ben{\"o}tigt, um mittels des Beweises der {\"A}quivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz f{\"u}r ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erf{\"u}llten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularit{\"a}ten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum f{\"u}r Steuerungsprobleme mit Singularit{\"a}ten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes l{\"a}sst sich explizit nachpr{\"u}fen, welche analytischen Eigenschaften f{\"u}r die L{\"o}sung zu erwarten sind.}, subject = {Transformationen; Unendlicher Zeithorizont; Optimale Steuerung; Singularit{\"a}ten; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Transformations; Infinite horizon; Optimal control; Singularities; Weighted sobolev spaces; Gewichteter Funktionenraum; Optimale Kontrolle; Singularit{\"a}t ; Transformation }, language = {de} }