@phdthesis{Mugler2013, author = {Mugler, Antje}, title = {Verallgemeinertes polynomielles Chaos zur L{\"o}sung station{\"a}rer Diffusionsprobleme mit zuf{\"a}lligen Koeffizienten}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-28209}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2013}, abstract = {Zuf{\"a}llige partielle Differentialgleichungen werden genutzt, um komplexe Systeme in Natur, Physik oder Technik realit{\"a}tsn{\"a}her zu modellieren. In dieser Arbeit wird speziell das station{\"a}re Diffusionsproblem mit zuf{\"a}lligem Koeffizient als lehrreiches Modellproblem betrachtet und mittels der stochastischen Galerkin-Methode unter Verwendung des verallgemeinerten polynomiellen Chaos n{\"a}herungsweise gel{\"o}st. Im Gegensatz zu den {\"u}blichen Annahmen, dass der Koeffizient sich durch Konstanten von Null und Unendlich fast sicher trennen l{\"a}sst oder ein lognormales Zufallsfeld darstellt, wird in der vorliegenden Arbeit f{\"u}r den Koeffizienten nur vorausgesetzt, dass er sich fast sicher durch reellwertige Zufallsgr{\"o}ßen von Null und Unendlich trennen l{\"a}sst. Unter dieser Voraussetzung werden sowohl eine entsprechende L{\"o}sungstheorie f{\"u}r solche Randwertprobleme entwickelt als auch ein geeigneter stochastischer Galerkin-Ansatz zur n{\"a}herungsweisen L{\"o}sung vorgestellt. Dieser stochastische Galerkin-Ansatz basiert auf der Verwendung von verallgemeinertem polynomiellen Chaos und entspricht einem stochastischen Petrov-Galerkin-Ansatz aufgrund der Gewichtung der Testfunktionen durch eine entsprechende reellwertige Zufallsgr{\"o}ße. Die Eigenschaften des verallgemeinerten polynomiellen Chaos werden genutzt, um das Konvergenzverhalten der Folge dieser stochastischen Galerkin-L{\"o}sungen in der nat{\"u}rlichen Norm zu untersuchen und A-priori-Fehlerabsch{\"a}tzungen anzugeben. Es wird außerdem gezeigt, dass der standardm{\"a}ßige stochastische Galerkin-Ansatz in diesem Fall nicht notwendigerweise eine Folge von stochastischen Galerkin-L{\"o}sungen liefert, die in der nat{\"u}rlichen Norm gegen die exakte L{\"o}sung konvergiert.}, subject = {Diffusionsgleichung; Spektralmethode; Polynomielles Chaos; Verallgemeinertes polynomielles Chaos; Differentialgleichungen mit zuf{\"a}lligen Parametern; Stochastische Galerkin-Methode; Polynomial chaos; Generalized polynomial chaos; Differential equations with random parameters; Stochastic Galerkin method}, language = {de} }