@techreport{KahraBreuss2022, type = {Working Paper}, author = {Kahra, Marvin and Breuß, Michael}, title = {Properties of morphological dilation in max-plus and plus-prod algebra in connection with the Fourier transformation}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-58483}, year = {2022}, abstract = {The basic filters in mathematical morphology are dilation and erosion. They are defined by a structuring element that is usually shifted pixel-wise over an image, together with a comparison process that takes place within the corresponding mask. This comparison is made in the grey value case by means of maximum or minimum formation. Hence, there is easy access to max-plus algebra and, by means of an algebra change, also to the theory of linear algebra. We show that an approximation of the maximum function forms a commutative semifield (with respect to multiplication) and corresponds to the maximum again in the limit case. In this way, we demonstrate a novel access to the logarithmic connection between the Fourier transform and the slope transformation. In addition, we prove that the dilation by means of a Fast Fourier Transform depends only on the size of the structuring element used. Moreover, we derive a bound above which the Fourier approximation yields results that are exact in terms of grey value quantization.}, subject = {Mathematical morphology; Fourier transform; Dilation; Max-plus algebra; Slope transform; Mathematische Morphologie; Fourier-Transformation; Dilatation; Max-Plus-Algebra; Steigungstransformation; Dilatation ; Fourier-Transformation; Mathematische Morphologie}, language = {en} } @misc{Kahra2020, type = {Master Thesis}, author = {Kahra, Marvin}, title = {Maximumprinzipien f{\"u}r harmonische Abbildungen in Riemann'schen Mannigfaltigkeiten}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von L{\"o}sungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grunds{\"a}tzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erf{\"u}llt, angenommen wird. Die gr{\"o}ßte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilit{\"a}t der L{\"o}sungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bez{\"u}glich zweidimensionaler Riemann'scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Absch{\"a}tzungen f{\"u}r Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschr{\"a}nkt, wodurch sich eine Beschr{\"a}nkung der Riemann'schen Metrik f{\"u}r beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Absch{\"a}tzungen bilden den Grundstein f{\"u}r die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularit{\"a}tsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilit{\"a}t von L{\"o}sungen des Dirichlet-Problems f{\"u}r harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von J{\"a}ger und Kaul dar, welches durch Absch{\"a}tzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen H{\"u}lle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann'schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geod{\"a}tischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache {\"U}berdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-L{\"o}sung gew{\"a}hrleistet. Diese Aussage l{\"a}sst sich in dem Sinne erweitern, dass die L{\"o}sung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus {\"u}ber das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich f{\"u}hren wir diese Methode am Beispiel der Poincar{\´e}'schen Halbebene vor.}, subject = {Maximumprinzip; Mannigfaltigkeit; Harmonische Abbildung; Maximum principle; Manifold; Harmonic mapping; Mannigfaltigkeit; Maximumprinzip; Harmonische Abbildung; Partielle Differentialgleichung; Dirichlet-Problem}, language = {de} }