@misc{Marko2021, type = {Master Thesis}, author = {Marko, Jonas}, title = {Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation}, doi = {10.26127/BTUOpen-6071}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Geb{\"a}uden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Gr{\"o}ße minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften f{\"u}r die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß daf{\"u}r darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas {\"u}ber deren {\"A}nderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu L{\"o}sungen f{\"u}hren, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsm{\"o}glichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann f{\"u}r viele Probleme die Existenz einer Optimall{\"o}sung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer L{\"o}sung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen L{\"o}sungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalit{\"a}tsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften f{\"u}r vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur f{\"u}r ein Problem konnten zufriedenstellende L{\"o}sungen berechnet werden. Allerdings ist es m{\"o}glich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu {\"u}bertragen.}, subject = {Optimale Steuerung; Totalvariation; Total variation; Optimal control; Optimale Kontrolle; Funktion von beschr{\"a}nkter Variation}, language = {de} }