@phdthesis{Burtchen2019, author = {Burtchen, Angie}, title = {Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben {\"u}ber dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur L{\"o}sung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben pr{\"a}sentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl f{\"u}r die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches l{\"a}sst sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der {\"O}konomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen f{\"u}r zuk{\"u}nftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularit{\"a}ten im Zielfunktional umgehen zu k{\"o}nnen (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Dar{\"u}ber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt f{\"u}r ein indirektes L{\"o}sungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe {\"u}ber [0,∞) wird in gewichteten Funktionenr{\"a}umen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie m{\"o}glich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gew{\"a}hlt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zus{\"a}tzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der L{\"o}sung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalit{\"a}tsbedingung eine Bestimmungsgleichung f{\"u}r den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gew{\"a}hlten Approximationsans{\"a}tze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollst{\"a}ndiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum {\"u}ber (0,∞) repr{\"a}sentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalit{\"a}tsbedingung l{\"a}sst sich damit das L{\"o}sen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das L{\"o}sen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Spektralmethoden; Unendlicher Zeithorizont; Fourier-Laguerre-Reihen; Optimal control theory; Infinite horizon; Spectral methods; Fourier-Laguerre analysis; Optimale Kontrolle; Laguerre-Polynome; Spektralmethode}, language = {de} }