@misc{Marko2021, type = {Master Thesis}, author = {Marko, Jonas}, title = {Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation}, doi = {10.26127/BTUOpen-6071}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Geb{\"a}uden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Gr{\"o}ße minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften f{\"u}r die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß daf{\"u}r darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas {\"u}ber deren {\"A}nderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu L{\"o}sungen f{\"u}hren, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsm{\"o}glichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann f{\"u}r viele Probleme die Existenz einer Optimall{\"o}sung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer L{\"o}sung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen L{\"o}sungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalit{\"a}tsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften f{\"u}r vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur f{\"u}r ein Problem konnten zufriedenstellende L{\"o}sungen berechnet werden. Allerdings ist es m{\"o}glich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu {\"u}bertragen.}, subject = {Optimale Steuerung; Totalvariation; Total variation; Optimal control; Optimale Kontrolle; Funktion von beschr{\"a}nkter Variation}, language = {de} } @phdthesis{Kolo2021, author = {Kolo, Katharina}, title = {Ein dual-basierter Ansatz zur Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, doi = {10.26127/BTUOpen-5522}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55224}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Ber{\"u}cksichtigung von Steuerungsbeschr{\"a}nkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enth{\"a}lt die Arbeit zudem eine ausf{\"u}hrliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Daf{\"u}r betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. F{\"u}r die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird daf{\"u}r {\"u}ber gewichteten Funktionenr{\"a}umen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-R{\"a}ume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausf{\"u}hrungen zwischen Problemen {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zun{\"a}chst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler L{\"o}sungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualit{\"a}t wird hierf{\"u}r eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen hergeleitet. F{\"u}r diese k{\"o}nnen schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollst{\"a}ndiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Optimal control; Unendlicher Zeithorizont; Infinit horizon; Dualit{\"a}t; Duality; Stabilisierung; Stabilization; Pseudospektralmethode; Pseudo spectral method; Lagrange-Dualit{\"a}t; Optimale Kontrolle; Stabilisierung ; Epidemiologie; COVID-19}, language = {de} } @phdthesis{Harder2020, author = {Harder, Felix}, title = {On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces}, doi = {10.26127/BTUOpen-5375}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting. Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied. We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments. The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory.}, subject = {Bilevel optimization; Optimality conditions; Optimal control; Inverse optimal control; Obstacle problem; Zwei-Ebenen-Optimierung; Optimalit{\"a}tsbedingungen; Optimale Steuerung; Inverse optimale Steuerung; Hindernisproblem; Optimale Kontrolle; Hindernisproblem; Optimalit{\"a}tsbedingung; Zwei-Ebenen-Optimierung}, language = {en} } @phdthesis{Wenzke2020, author = {Wenzke, Diana}, title = {Beitr{\"a}ge zu Problemen der Optimalsteuerung mit unendlichem Zeithorizont - Transformationseigenschaften}, doi = {10.26127/BTUOpen-5202}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-52026}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird f{\"u}r Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, f{\"u}r welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalit{\"a}tsbedingung enthalten. An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularit{\"a}ten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel f{\"u}r Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in nat{\"u}rlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevr{\"a}umen angeh{\"o}ren. Das erkl{\"a}rt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips f{\"u}r Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide S{\"a}tze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenr{\"a}ume Hilbertr{\"a}ume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel f{\"u}r Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der H{\"o}lderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gew{\"o}hnlichen Differentialrechnung ben{\"o}tigt, um mittels des Beweises der {\"A}quivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz f{\"u}r ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erf{\"u}llten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularit{\"a}ten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum f{\"u}r Steuerungsprobleme mit Singularit{\"a}ten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes l{\"a}sst sich explizit nachpr{\"u}fen, welche analytischen Eigenschaften f{\"u}r die L{\"o}sung zu erwarten sind.}, subject = {Transformationen; Unendlicher Zeithorizont; Optimale Steuerung; Singularit{\"a}ten; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Transformations; Infinite horizon; Optimal control; Singularities; Weighted sobolev spaces; Gewichteter Funktionenraum; Optimale Kontrolle; Singularit{\"a}t ; Transformation }, language = {de} } @phdthesis{Burtchen2019, author = {Burtchen, Angie}, title = {Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben {\"u}ber dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur L{\"o}sung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben pr{\"a}sentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl f{\"u}r die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches l{\"a}sst sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der {\"O}konomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen f{\"u}r zuk{\"u}nftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularit{\"a}ten im Zielfunktional umgehen zu k{\"o}nnen (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Dar{\"u}ber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt f{\"u}r ein indirektes L{\"o}sungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe {\"u}ber [0,∞) wird in gewichteten Funktionenr{\"a}umen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie m{\"o}glich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gew{\"a}hlt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zus{\"a}tzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der L{\"o}sung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalit{\"a}tsbedingung eine Bestimmungsgleichung f{\"u}r den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gew{\"a}hlten Approximationsans{\"a}tze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollst{\"a}ndiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum {\"u}ber (0,∞) repr{\"a}sentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalit{\"a}tsbedingung l{\"a}sst sich damit das L{\"o}sen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das L{\"o}sen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Spektralmethoden; Unendlicher Zeithorizont; Fourier-Laguerre-Reihen; Optimal control theory; Infinite horizon; Spectral methods; Fourier-Laguerre analysis; Optimale Kontrolle; Laguerre-Polynome; Spektralmethode}, language = {de} } @techreport{GnegelFuegenschuhHageletal.2019, author = {Gnegel, Fabian and F{\"u}genschuh, Armin and Hagel, Michael and Leyffer, Sven and Stiemer, Marcus}, title = {A solution framework for linear PDE-constrained mixed-integer problems}, editor = {F{\"u}genschuh, Armin}, issn = {2627-6100}, doi = {10.26127/BTUOpen-5045}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50453}, year = {2019}, abstract = {We present a general numerical solution method for control problems with PDE-defined state variables over a finite set of binary or continuous control variables. We show empirically that a naive approach that applies a numerical discretization scheme to the PDEs (and if necessary a linearization scheme) to derive constraints for a mixed-integer linear program (MILP) leads to systems that are too large to be solved with state-of-the-art solvers for MILPs, especially if we desire an accurate approximation of the state variables. Our framework comprises two techniques to mitigate the rise of computation times with increasing discretization level parameters: First, the linear system is solved for a basis of the control space in a preprocessing step. Second, certain constraints are just imposed on demand via the IBM ILOG CPLEX feature of a lazy constraint callback. These techniques are compared with an approach where the relations obtained by the discretization of the continuous constraints are directly included in the MILP. We demonstrate our approach on two examples: modeling of the spread of wildfire and the mitigation of water contamination. In both examples the computational results demonstrate that the solution time is significantly reduced by our methods. In particular, the dependence of the computation time on the size of the spatial discretization of the PDE is significantly reduced.}, subject = {Mixed-integer linear programming; Partial differential equations; Finite-element methods; Convection-diffusion equation; Global optimal control; Gemischt-ganzzahlige lineare Programmierung; Globale Optimalsteuerung; Konvektions-Diffusions-Gleichung; Finite-Elemente-Methode; Partielle Differentialgleichungen; Optimale Kontrolle; Finite-Elemente-Methode; Lineare Optimierung; Konvektions-Diffusionsgleichung}, language = {en} } @phdthesis{Ziemann2019, author = {Ziemann, Torsten}, title = {Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien f{\"u}r eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilbertr{\"a}umen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zust{\"a}nde Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu w{\"a}hlen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zul{\"a}ssigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast {\"u}berall punktweise konvergente Folgen zul{\"a}ssiger Zustandstrajektorien konvergieren gem{\"a}ß dem Satz von Lebesgue {\"u}ber die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carath{\´e}odory studiert. Die lokal absolut stetige L{\"o}sung l{\"a}sst sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es gen{\"u}gen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalit{\"a}tskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalit{\"a}tskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zur{\"u}ckgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien m{\"u}ndet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich nat{\"u}rliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So k{\"o}nnen mit der in dieser Arbeit pr{\"a}sentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bez{\"u}glich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.}, subject = {Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien; Pontryagin Maximumprinzip; Affin-lineare Dynamik; Optimal control; Infinite horizon; Necessary optimality criteria; Pontryagin maximum principle; Affin-linear dynamics; Steuerungstheorie; Optimale Kontrolle; Optimalit{\"a}tsbedingung; Pontrjagin-Maximumprinzip}, language = {de} } @phdthesis{Lykina2010, author = {Lykina, Valeriya}, title = {Beitr{\"a}ge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makro{\"o}konomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Sch{\"a}dlingsbek{\"a}mpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gew{\"a}hlt. Dies ist einer der Schl{\"u}sselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenr{\"a}ume mit Vorteil f{\"u}r die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einf{\"u}hrung einer zus{\"a}tzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umst{\"a}nden die Existenz einer optimalen L{\"o}sung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gew{\"a}hrleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zul{\"a}ssigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalit{\"a}t testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung ber{\"u}cksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es S{\"a}tze {\"u}ber Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate {\"u}ber die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesguer{\"a}umen {\"u}ber einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes f{\"u}r die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingef{\"u}hrte Zustandsbeschr{\"a}nkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualit{\"a}tstheorie f{\"u}r Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenr{\"a}umen und die Herleitung hinreichender Optimalit{\"a}tsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Kl{\"o}tzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualit{\"a}tstheorie werden hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen zweiter Ordnung f{\"u}r starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschw{\"a}chte Version dieser Bedingungen unter Ber{\"u}cksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele pr{\"a}sentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zul{\"a}ssigen Bereichen f{\"u}hren oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abh{\"a}ngigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen S{\"a}tze wird ausf{\"u}hrlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.}, subject = {Optimale Kontrolle; Analysis; Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen; Existenzsatz; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Optimal control; Infinite horizon; Sufficient optimality conditions; Existence theorem; Weighted functional spaces}, language = {de} } @phdthesis{Tauchnitz2010, author = {Tauchnitz, Nico}, title = {Das Pontrjaginsche Maximumprinzip f{\"u}r eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschr{\"a}nkung und seine Anwendung}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-17877}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen f{\"u}r Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu geh{\"o}renden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschr{\"a}nkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgew{\"a}hlten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel f{\"u}hrt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es m{\"o}glich, beim Vergleich zul{\"a}ssiger Trajektorien auf die Einschr{\"a}nkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So k{\"o}nnen wir die Aufgabe auf der Menge aller zul{\"a}ssigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalit{\"a}t die Schaltstrategie als Steuervariable ber{\"u}cksichtigen und d{\"u}rfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen.}, subject = {Pontrjagin-Maximumprinzip; Beweis; Optimale Kontrolle; Optimale Steuerung; Hybride Systeme; Zustandsbeschr{\"a}nkungen; Pontrjaginsches Maximumprinzip; Notwendige Bedingungen; Optimal control; Hybrid system; State constraints; Pontryagin maximum principle; Necessary conditions}, language = {de} }