@phdthesis{Ziemann2019, author = {Ziemann, Torsten}, title = {Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien f{\"u}r eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilbertr{\"a}umen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zust{\"a}nde Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu w{\"a}hlen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zul{\"a}ssigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast {\"u}berall punktweise konvergente Folgen zul{\"a}ssiger Zustandstrajektorien konvergieren gem{\"a}ß dem Satz von Lebesgue {\"u}ber die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carath{\´e}odory studiert. Die lokal absolut stetige L{\"o}sung l{\"a}sst sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es gen{\"u}gen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalit{\"a}tskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalit{\"a}tskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zur{\"u}ckgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien m{\"u}ndet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich nat{\"u}rliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So k{\"o}nnen mit der in dieser Arbeit pr{\"a}sentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bez{\"u}glich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.}, subject = {Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien; Pontryagin Maximumprinzip; Affin-lineare Dynamik; Optimal control; Infinite horizon; Necessary optimality criteria; Pontryagin maximum principle; Affin-linear dynamics; Steuerungstheorie; Optimale Kontrolle; Optimalit{\"a}tsbedingung; Pontrjagin-Maximumprinzip}, language = {de} }