@phdthesis{Suess2010, author = {S{\"u}ß, Hendrik}, title = {Drei Klassifikationsprobleme f{\"u}r Variet{\"a}ten mit Toruswirkung der Komplexit{\"a}t eins}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-21254}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {Toruswirkungen auf algebraischen Variet{\"a}ten er{\"o}ffnen eine n{\"u}tzliche Verbindung zwischen algebraischer Geometrie auf der einen Seite und Kombinatorik und Konvexgeometrie auf der anderen. Allgemeine Konzepte wie Divisoren oder die Aufl{\"o}sung von Singularit{\"a}ten {\"u}bersetzen sich in -- h{\"a}ufig einfacher zu verstehende -- Pendants in der konvexen Geometrie. Inhalt dieser Dissertation ist es, sich diese Verbindung zu Nutze machend, Methoden und Hilfsmittel zu entwickeln um Klassifikationsprobleme f{\"u}r Variet{\"a}ten mit Toruswirkungen, sogenannte T-Variet{\"a}ten, bearbeiten zu k{\"o}nnen. Eine wichtige Voraussetzung f{\"u}r die Klassifikation von algebraischen Variet{\"a}ten ist die Beschr{\"a}nkung der auftretenden Singularit{\"a}ten. Großen Raum in dieser Arbeit nimmt daher das Studium von Singularit{\"a}ten auf T-Variet{\"a}ten und deren Aufl{\"o}sung ein. Unverzichtbar dabei ist das Verst{\"a}ndnis eigentlicher Abbildungen und Divisoren, denen sich folglich jeweils ein eigenes Kapitel widmet. In der Arbeit werden drei konkrete Klassifikationsprobleme eingehender betrachtet: die Klassifikation von log-Del-Pezzo-Fl{\"a}chen mit beschr{\"a}nktem Gorenstein-Index, von multigraduierten faktoriellen Ringen und von lokal faktoriellen Fano-T-Variet{\"a}ten vom Picard-Rang eins. Die beiden letztgenannten Probleme sind dabei eng mit einander verbunden. Die betrachteten faktoriellen Ringe sind gerade die Cox-Ringe der Fano-T-Variet{\"a}ten. Um diesen Zusammenhang herauszuarbeiten, widmet sich ein eigenes Kapitel den Cox-Ringen von T-Variet{\"a}ten.}, subject = {Algebraische Geometrie; Algebraische Geometrie; T-Variet{\"a}ten; Toruswirkungen; Fano-Variet{\"a}ten; Singularit{\"a}ten; Algebraic geometry; T-varieties; Torus actions; Fano varieties; Singularities}, language = {de} }