@phdthesis{Kolo2021, author = {Kolo, Katharina}, title = {Ein dual-basierter Ansatz zur Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, doi = {10.26127/BTUOpen-5522}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55224}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Ber{\"u}cksichtigung von Steuerungsbeschr{\"a}nkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enth{\"a}lt die Arbeit zudem eine ausf{\"u}hrliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Daf{\"u}r betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. F{\"u}r die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird daf{\"u}r {\"u}ber gewichteten Funktionenr{\"a}umen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-R{\"a}ume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausf{\"u}hrungen zwischen Problemen {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zun{\"a}chst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler L{\"o}sungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualit{\"a}t wird hierf{\"u}r eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen hergeleitet. F{\"u}r diese k{\"o}nnen schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollst{\"a}ndiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Optimal control; Unendlicher Zeithorizont; Infinit horizon; Dualit{\"a}t; Duality; Stabilisierung; Stabilization; Pseudospektralmethode; Pseudo spectral method; Lagrange-Dualit{\"a}t; Optimale Kontrolle; Stabilisierung ; Epidemiologie; COVID-19}, language = {de} }