@misc{Kahra2020, type = {Master Thesis}, author = {Kahra, Marvin}, title = {Maximumprinzipien f{\"u}r harmonische Abbildungen in Riemann'schen Mannigfaltigkeiten}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von L{\"o}sungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grunds{\"a}tzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erf{\"u}llt, angenommen wird. Die gr{\"o}ßte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilit{\"a}t der L{\"o}sungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bez{\"u}glich zweidimensionaler Riemann'scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Absch{\"a}tzungen f{\"u}r Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschr{\"a}nkt, wodurch sich eine Beschr{\"a}nkung der Riemann'schen Metrik f{\"u}r beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Absch{\"a}tzungen bilden den Grundstein f{\"u}r die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularit{\"a}tsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilit{\"a}t von L{\"o}sungen des Dirichlet-Problems f{\"u}r harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von J{\"a}ger und Kaul dar, welches durch Absch{\"a}tzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen H{\"u}lle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann'schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geod{\"a}tischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache {\"U}berdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-L{\"o}sung gew{\"a}hrleistet. Diese Aussage l{\"a}sst sich in dem Sinne erweitern, dass die L{\"o}sung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus {\"u}ber das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich f{\"u}hren wir diese Methode am Beispiel der Poincar{\´e}'schen Halbebene vor.}, subject = {Maximumprinzip; Mannigfaltigkeit; Harmonische Abbildung; Maximum principle; Manifold; Harmonic mapping; Mannigfaltigkeit; Maximumprinzip; Harmonische Abbildung; Partielle Differentialgleichung; Dirichlet-Problem}, language = {de} } @phdthesis{Szerement2011, author = {Szerement, Claudia}, title = {L{\"o}sung des Dirichletproblems f{\"u}r G-minimale Graphen mit einer Kontinuit{\"a}ts- und Approximationsmethode}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-22088}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2011}, abstract = {Wir betrachten das Dirichletproblem f{\"u}r sogenannte \$G\$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalfl{\"a}chentyp, welche sich als Graph {\"u}ber einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix \$G\$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung f{\"u}r diese H{\"o}henfunktion her. Dann l{\"o}sen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten \$\Omega\$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuit{\"a}ts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zun{\"a}chst eine a priori \$C^{1+\alpha}\$-Absch{\"a}tzung der L{\"o}sung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen \$C^{2+\alpha}\$-Gebieten und \$C^{2+\alpha}\$-Randdaten zur{\"u}ckziehen. Mit einem Satz {\"u}ber die Graphenstabilit{\"a}t und -kompaktheit l{\"o}sen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuit{\"a}tsmethode. Anschließend f{\"u}hren wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. Mit einem Approximationsargument und einem parametrischen Kompaktheitssatz l{\"o}sen wir schließlich das urspr{\"u}ngliche Dirichletproblem.}, subject = {Dirichlet-Problem; Minimalfl{\"a}che; Approximation; Graphen vom Minimalfl{\"a}chentyp; Dirichletproblem; Kontinuit{\"a}tsmethode; Gewichtete Differentialgeometrie; Graphs of minimal surface type; Dirichlet problem; Continuity method; Weighted differential geometry}, language = {de} }