TY  - THES
A1  - Harder, Felix
T1  - On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces
T1  - Über Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen
N2  - In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting.
Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied.
We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments.
The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory.
N2  - In dieser Arbeit werden Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen betrachtet. Insbesondere sind wir an notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für solche Optimierungsprobleme interessiert. Wir studieren Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme sowohl in abstrakten Banachräumen als auch in konkreteren Situationen. So betrachten wir etwa die optimale Steuerung des Hindernisproblems, welches ein typisches Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem in Sobolevräumen ist, sowie auch eine Klasse von inversen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wenden wir unsere Ergebnisse aus den Betrachtungen in abstrakten Banachräumen an, um Optimalitätsbedingungen zu zeigen.
Der Ansatz, um Optimalitätsbedingungen in der abstrakten Situation herzuleiten, benutzt die Relaxierung einer Reformulierung des Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems, welche auf der Optimalwertfunktion basiert. Dabei führen wir auch die sogenannten normalkegelerhaltenden Operatoren ein und zeigen, wie dieses Konzept zur Anwendung kommt.
Wir gehen auch auf andere Themen, die in diesem Zusammenhang auftreten, ein. So wird der sogenannte „llimiting normal cone“ zu einer Komplementaritätsmenge in Sobolevräumen betrachtet. Diese Komplementaritätsmenge spielt eine zentrale Rolle für die optimale Steuerung des Hindernisproblems. Der „llimiting normal cone“ ist ein Konzept, welches in der variationellen Analysis vorkommt und den gewöhnlichen Normalkegel aus der konvexen Analysis verallgemeinert. Ebenfalls untersucht wird die Fragestellung, in welchen Räumen Legendre-Formen und Legendre-*-Formen existieren können. Es wird gezeigt, dass die Existenz von Legendre-*-Formen in einem reflexiven Banachraum oder einem Raum mit einem separablen Prädualraum impliziert, dass diese Räume bereits isomorph zu einem Hilbertraum sind. Wir betrachten auch eine Diskretisierung eines Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems in Lebesgueräumen. Dabei werden sowohl Fehlerschätzungen gezeigt als auch numerische Experimente präsentiert.
Die erhaltenen neuen Resultate in dieser Arbeit werden mit Beispielen und Gegenbeispielen bereichert. Damit die Themen in einer in sich abgeschlossenen Form präsentiert werden können, werden auch bereits bekannte Konzepte eingeführt und grundlegende Eigenschaften diskutiert. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf die Kapazitätstheorie gelegt.
KW  - Bilevel optimization
KW  - Optimality conditions
KW  - Optimal control
KW  - Inverse optimal control
KW  - Obstacle problem
KW  - Zwei-Ebenen-Optimierung
KW  - Optimalitätsbedingungen
KW  - Optimale Steuerung
KW  - Inverse optimale Steuerung
KW  - Hindernisproblem
KW  - Optimale Kontrolle
KW  - Hindernisproblem
KW  - Optimalitätsbedingung
KW  - Zwei-Ebenen-Optimierung
Y1  - 2021
UR  - https://opus4.kobv.de/opus4-btu/frontdoor/index/index/docId/5375
UR  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755
ER  -