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The application of waveguides for acoustic measuring technologies and the development of non-destructive evaluation techniques with guided ultrasonic waves for plate like materials like carbon fiber reinforced plastic shells and layered structures require a good understanding of acoustic wave propagation inside the material. The well-known Finite Element Method can be used for simulations, however at least for higher frequencies, the ratio of wavelength and geometrical dimension demands a time-consuming fine grid. Using commercial simulation tools the computational costs increase considerably for ultrasonic frequencies.
In the recent years, the Federal Institute for Materials Research and Testing has developed a very efficient alternative for simulating acoustic wave propagation particularly in wave guides by extending the Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). The SBFEM as a semi-analytical method has one main advantage over the classical Finite Element Method: It only demands a discretization of the boundary instead of the whole domain. This is pictured in the figures below. The method is still related to the Finite Element Method and uses their well-known solving strategies. SBFEM is shown to be highly efficient, especially in the frequency domain. Additionally, the efficiency can be increased by using higher-order spectral elements. In plates and cylinders, the SBFEM can be used to animate propagating modes and computes their wavenumber.
In this contribution, we present a short introduction into the basics of SBFEM formulation of the dynamic elastic wave equation. The applicability and efficiency of the approach is demonstrated by applying the method to layered structures and different wave guide geometries. As one example we present the wave propagation in a typical adhesive joint of different metal sheets as common in new designs in automotive industry. The analysis comprises the computation of dispersion curves as starting point of every development of non-destructive testing techniques for inspecting such structures as well as the analysis of the propagating modes. Additional examples presented handle special cases for axis-symmetric geometries, such as pipes and cylindrical rods which are common in various acoustic measurement applications.
In Non-Destructive Testing, ultrasonic waves are commonly used to identify flaws and cracks.
In plates, shells, pipes and other geometries guided waves can be used to test the whole structure at once. In these tests, the input and response signal can have a nonlinear relationship due to cracks. At least for higher deflections, the propagating wave excites each side of the crack in such a way that it hits the other side. This clapping generally leads to a generation of higher harmonic waves and is referred to Contact Acoustic Nonlinearity (CAN). To get a better insight into the salient physics of the effect numerical simulations are necessary.
In the recent years, the Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM) was introduced to efficiently simulate wave propagation. The main advantage of the method is an easy grid generation process because the domain is discretized with arbitrary polygons instead of the triangles and rectangles. Another advantage is the possibility to model crack tips elegantly without additional workload. The SBFEM approach is still related to the Finite Element Method and uses similar techniques. The method is very efficient using high-order-spectral elements.
In this contribution, we present a short introduction into the basics of SBFEM formulation of the dynamic elastic wave equation. The SBFEM is then extended for modeling the non-linear behavior of crack clapping. Different approaches with increasing complexity are presented and assessed with respect to numerical stability.
The Spectral Element Method (SEM) has been proven to be an efficient numerical method for solving the wave equation in linear elastic bodies. This efficiency is reduced if a stress singularity is present in the body. For example, re-entrant corners, material interfaces, fixed boundaries, and especially crack tips can cause stress singularities. To preserve the efficiency of the SEM, special solution strategies are required. There are many approaches which consider stress singularities, but comparisons are rare for dynamic problems. Finding an efficient model is an important step for many applications. In particular, applications for structural health monitoring and non-destructive evaluation rely on accurate and efficient crack models.
In this contribution, we present several models to capture singularities in combination with the SEM. The theory behind the models are shortly summarized and we show results for different benchmark problems in two dimensions. The first model deploys a new class of singular elements. For these singular elements, the crack tip approximation is computed based on the static Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). The second model uses the continued‐fraction‐based SBFEM, while the third model uses an hp-refinement near the singularity. The models are compared among each other and evaluated in terms of their respective efficiency and accuracy.
The simulation of ultrasonic waves in a linearly elastic body can be computationally intensive. The reason is the relatively short wavelength compared to the body size for high frequencies. One possible approach to counteract the high computational costs is to decompose the domain into small parts and strive for parallelization. The Mortar Method is a well-established approach for domain decomposition.
A rather new approach to discretize the emerging subdomains is the Scaled Boundary Finite Element Method. This semi-analytical method has many attractive properties. Some of these properties are listed subsequently. The grid consists of polygonal elements, which leaves much freedom in the meshing process. A variety of material distributions, including anisotropic materials, can be considered. High-order shape functions can be used for optimal convergence properties. The approach treats singularities at crack tips and corners analytically. Especially in the frequency domain, the Scaled Boundary Finite Element Method reduces the dimension of the approximation because only degrees of freedom which are associated with the boundary of a polygonal element are necessary. Those desirable properties make the method particularly suitable for calculating the dynamic responses in bodies with cracks, as it is essential for many non-destructive testing and structural health monitoring applications.
In this contribution, we present a combination of the Scaled Boundary Finite Element Method with the Mortar Method in two dimensions. The presentation starts with a theoretical overview of both approaches. Subsequently, numerical examples demonstrate the stability of the combination for the polygonal boundary of the elements. The numerical examples increase in complexity and are compared to results computed on non-divided domains with the Finite Element Method.
Eine zentrale Aufgabe der zerstörungsfreien Prüfung und der Strukturüberwachung (engl. Structural Health Monitoring - SHM) mit Ultraschallwellen ist die Bewertung von Schäden in Bauteilen. In vielen Bauteilen, wie zum Beispiel platten- und schalenförmigen Strukturen, Rohrleitungen oder Laminaten, breitet sich der Ultraschall in Form geführter Wellen aus. Zwar haben geführte Wellen eine relativ große Reichweite innerhalb des Bauteils und ermöglichen so eine großflächige Prüfung, ihre multimodalen und dispersiven Eigenschaften erschweren jedoch die Analyse der vom Schaden kommenden Reflexionen. Eine Möglichkeit, die Messsignale zu interpretieren und die Schäden zu charakterisieren, ist deren Vergleich mit der Wellenausbreitung in einem digitalen Modell. Hierbei stellt sich die Aufgabe, den Schaden im digitalen Modell anhand der Messdaten zu rekonstruieren. Diese Rekonstruktion beschreibt ein inverses Problem, das mehrere Vorwärtsrechnungen braucht, um das Schadensmodell an die Messdaten anzupassen.Durch die kleine Wellenlänge von Ultraschallwellen sind klassische Vorwärtsmethoden wie die Finte Elemente Methode rechenintensiv, weshalb die Autoren die semi-analytische Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM) benutzen, um den Rechenaufwand zu verringern. Im Beitrag wird ein inverses Verfahren basierend auf dem Automatischen Differenzieren in Kombination mit der SBFEM vorgestellt und an verschiedenen Schadenstypen in 2D-Querschnittmodellen von Wellenleitern getestet. In der präsentierten Vorstudie werden dafür „Messdaten“ aus unabhängigen Simulationen verwendet.
In der Zerstörungsfreien Prüfung und der Zustandsüberwachung sind geführte Wellen von großem Interesse, um Fehlstellen zu finden und zu charakterisieren. Die Interaktion der Wellen mit den Fehlstellen kann dabei aufgrund ihrer Komplexität häufig nicht analytisch beschrieben werden. Dies macht numerische Programme neben Experimenten unabdingbar. Aufgrund der kleinen Wellenlänge im Verhältnis zur Bauteilgröße ist jedoch eine effiziente Simulation noch immer Teil der aktiven Forschung.
Um die Effizienz der Simulationsalgorithmen zu steigern, ist es möglich, analytische Annahmen in die Finite Elemente Methode (FEM) zu integrieren. Beispiele für solche Methoden sind die Scaled Boundary Finite Element Method als ein semi-analytisches Verfahren und eXtended Finite Element Method. Diese beiden Möglichkeiten erlauben es, die Wechselwirkungen effizient zu simulieren.
In diesem Beitrag werden verschiedene Wechselwirkungen und Auswertungsmöglichkeiten von geführten Wellen mit Fehlstellen vorgestellt. Hierbei liegt der Fokus auf linearen und nicht-linearen Effekten. Zunächst wird auf Modenkonversion eingegangen und der Frage nachgegangen, ob diese ausreicht, um einen Riss zu charakterisieren. Diese Untersuchungen motivieren dann ein inverses Verfahren, mit dem einige Parameter eines simulierten Risses in einer Folge von Simulationen wieder rekonstruiert werden. Ein zweiter Teil beschäftigt sich mit nicht-linearen Risseffekten. Diese Risseffekte erzeugen im allgemeinen höhere harmonische Wellen. Hier werden Ergebnisse und Filtermethoden zur Auswertung vorgestellt.
Ein Hauptziel der zerstörungsfreien Prüfung und der Strukturüberwachung (engl. Structural Health Monitoring - SHM) mit Ultraschallwellen ist die Charakterisierung von Schäden in Bauteilen. In vielen schalenförmigen Bauteilen, wie zum Beispiel Rohrleitungen, Laminaten und Platten, breitet sich der Ultraschall in Form geführter Wellen aus. Zwar erlauben geführte Wellen eine großflächige Prüfung durch das langsame Abklingen der Wellen. Jedoch breiten sich die Wellen in verschiedenen dispersiven Moden aus, was die Analyse der vom Schaden erzeugten Reflexionen erschwert. Eine Möglichkeit, die Messsignale zu interpretieren, um Schäden zu charakterisieren, ist der direkte Vergleich mit einem Simulationsmodell. Die Rekonstruktion des Schadens stellt ein inverses Problem dar. Das inverse Problem kann als Optimierungsproblem formuliert werden. Für die Optimierung werden mehrere Vorwärtsrechnungen gebraucht, um das Schadensmodell an die Messdaten anzupassen.
Aufgrund der kurzen Wellenlängen von Ultraschallwellen sind klassische Methoden für die Vorwärtsrechnung, wie z.B. die Finite Elemente Methode (FEM), rechenintensiv. Eine Möglichkeit den Rechenaufwand zu reduzieren, bietet die Approximation der Wellenausbreitung mittels der semi-analytischen Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). Frühere Untersuchungen haben gezeigt, dass die benötigten Freiheitsgrade im Vergleich zur FEM wesentlich geringer sind [1].
Im Beitrag wird eine Optimierung basierend auf einem Gradientenverfahren in Kombination mit der SBFEM vorgestellt und an verschiedenen Schadenstypen in 2D-Querschnittsmodellen von Stahlplatten getestet. Der Gradient des Vorwärtsmodells wird durch Algorithmisches Differenzieren berechnet, wodurch eine genaue und schnelle Optimierung ermöglicht wird. Es werden Untersuchungen zum inversen Problem und das Finden einer geeigneten Zielfunktion präsentiert. Es wird verdeutlicht, dass der entwickelte Algorithmus robust gegenüber von Rauscheinflüssen ist. In diesen Untersuchungen werden zunächst „Messdaten“ aus unabhängigen Simulationen verwendet [2]. Erste Schritte für die experimentelle Validierung und Erweiterung auf 3D Modelle werden anschließend vorgestellt.