## A strictly feasible sequential convex programming method

### Ein strikt zulässiges sequentielles konvexes Optimierungsverfahren

In free material optimization (FMO), one tries to find the best mechanical structure by minimizing the weight or by maximizing the stiffness with respect to given load cases. Design variables are the material properties represented by elasticity tensors or elementary material matrices, respectively, based on a given finite element discretization. Material properties are as general as possible, i.e., anisotropic, leading to positive definite elasticity tensors, which may be arbitrarily small in cIn free material optimization (FMO), one tries to find the best mechanical structure by minimizing the weight or by maximizing the stiffness with respect to given load cases. Design variables are the material properties represented by elasticity tensors or elementary material matrices, respectively, based on a given finite element discretization. Material properties are as general as possible, i.e., anisotropic, leading to positive definite elasticity tensors, which may be arbitrarily small in case of vanishing material. To guarantee a positive definite global stiffness matrix for computing design constraints, it is required that all iterates of an optimization algorithm retain positive definite tensors. Otherwise, some constraints, e.g., the compliance, cannot be evaluated and the algorithm fails. FMO problems are generalizations of topology optimization problems. The goal of topology optimization is to find the stiffest structure subject to given loads and a limited amount of material. In contrast to FMO the material is explicitly given and cannot vary. Based on a finite element discretization, in each element it is decided whether to use material or not. The regions with vanishing material are interpreted as void. The resulting optimization problem can be solved by numerous efficient nonlinear optimization methods, for example sequential convex programming methods. Sequential convex programming (SCP) formulates separable and strictly convex nonlinear subproblems iteratively by approximating the objective and the constraints. Lower and upper asymptotes are introduced to truncate the feasible region. Due to the special structure, the resulting subproblems can be solved efficiently by appropriate methods, e.g., interior point methods. To ensure global convergence, a line search procedure is introduced. Moreover, an active set strategy is applied to reduce computation time. The iterates of SCP are not guaranteed to be inside the corresponding feasible region described by the constraints. As a consequence it is not able to solve free material optimization problems as the compliance function is only well-defined on the feasible region of some of the constraints. We propose a modification of a SCP method that ensures feasibility with respect to a given set of inequality constraints. The resulting procedure is called feasible sequential convex programming method (SCPF). SCPF expands the resulting subproblems by additional nonlinear constraints, that are passed to the subproblem directly to ensure their feasibility in each iteration step. They are referred as feasibility constraints. In addition, other constraints may be violated within the optimization process. As globalization technique a line search procedure is used to ensure convergence. The resulting subproblems can be solved efficiently taking the sparse structure into account. Moreover, semidefinite constraints have to be replaced by nonlinear ones, such that SCPF is applicable. SCPF successfully solved FMO problems with up to 120.000 variables and 60.000 constraints. Within a theoretical analysis global convergence of SCPF is shown for convex feasibility constraints.
Ziel dieser Dissertation ist die Entwicklung eines effizienten Lösungsverfahrens für komplexe Optimierungsprobleme aus der Freien Materialoptimierung. Dabei handelt es sich um eine spezielle Problemstellung aus dem Bereich der mechanischen Strukturoptimierung. Aus einer vorgegebenen Menge an Material soll die stabilste Struktur eines Objekts, z.B. eines Bauteils, berechnet werden. Zu den Anwendungen zählen unter anderem der Fahrzeug- und Flugzeugbau. Die Variablen sind Elastizitätstensoren, die Ziel dieser Dissertation ist die Entwicklung eines effizienten Lösungsverfahrens für komplexe Optimierungsprobleme aus der Freien Materialoptimierung. Dabei handelt es sich um eine spezielle Problemstellung aus dem Bereich der mechanischen Strukturoptimierung. Aus einer vorgegebenen Menge an Material soll die stabilste Struktur eines Objekts, z.B. eines Bauteils, berechnet werden. Zu den Anwendungen zählen unter anderem der Fahrzeug- und Flugzeugbau. Die Variablen sind Elastizitätstensoren, die die Materialeigenschaften des zu optimierenden Objekts in jedem Element einer vorgegebenen Finite Elemente Approximation widerspiegeln. Diese können durch eine symmetrische Matrizen dargestellt werden. Um den physikalischen Gesetzmäßigkeiten zu genügen, müssen diese Matrizen bestimmte mathematische Bedingungen erfüllen. Im Gegensatz zu anderen Problemklassen in der Strukturoptimierung sind die Materialeigenschaften nicht vorgegeben. Stattdessen ist die Wahl des Materials Teil der Optimierung, so dass in jedem Element unterschiedliches Material gewählt werden kann. Die Freie Materialoptimierung ist eine Verallgemeinerung der Topologieoptimierung. Bei der Topologieoptimierung ist das Material zur Bestimmung der optimalen Struktur für ein beliebiges Objekt unter Einfluss von verschiedenen Kräften vorgegeben. Im Gegensatz zur Freien Materialoptimierung existieren für die Topologieoptimierung geeignete effiziente Lösungsverfahren, die Problemstellungen mit einer großen Anzahl von Variablen und Nebenbedingungen lösen können. Da die Optimierungsvariablen für Probleme der Freien Materialoptimierung aus Elastizitätstensoren bestehen, können die bekannten effizienten Verfahren der Topologieoptimierung nicht in der Freien Materialoptimierung eingesetzt werden. Daher wird eine Weiterentwicklung des Optimierungsverfahrens 'Sequential Convex Programming' (SCP) vorgestellt. In der ursprünglichen Form zählt das SCP Verfahren zu den effizientesten Lösungsansätzen für Probleme der Topologieoptimierung. Der Algorithmus approximiert ein allgemeines nichtlineares Optimierungsproblem durch eine Folge streng konvexer, separabler Teilprobleme. Diese Teilprobleme lassen sich auf Grund ihrer Eigenschaften und ihrer Struktur effizient lösen. Iterativ wird aus der Lösung eines vorangegangenen Teilproblems ein neues formuliert. Unter bestimmten Voraussetzungen konvergiert die Folge der Lösungen der Teilprobleme gegen die optimale Lösung des Ausgangsproblems. Um globale Konvergenzaussagen zu erhalten, wird eine Schrittweitensteuerung angewendet, die eine Verbesserung der aktuellen Iterierten garantiert. Das SCP Verfahren ist für die Freie Materialoptimierung nicht anwendbar, weshalb der Algorithmus umfassend weiterentwickelt werden muss. Da das ursprüngliche Verfahren semidefinite Nebenbedingungen nicht berücksichtigen kann, müssen diese Nebenbedingungen geeignet umformuliert werden. Von zentraler Bedeutung für Probleme aus der Freien Materialoptimierung ist es, dass bestimmte Nebenbedingungen in jedem Iterationsschritt erfüllt sind, da gewisse Funktionen und deren Gradienten nur dann berechnet werden können. Das in dieser Arbeit entwickelte, strikt zulässige SCP Verfahren (SCPF, für Feasible Sequential Convex Programming) garantiert die Zulässigkeit einer Menge von konvexen Nebenbedingungen in jeder Iteration. Diese Nebenbedingungen werden im Folgenden als strikt zulässige Nebenbedingungen bezeichnet. SCPF integriert die strikt zulässigen Nebenbedingungen direkt in das Teilproblem, während die übrigen Nebenbedingungen und die Zielfunktion durch konvexe, separable Funktionen approximiert werden. Dadurch wird sichergestellt, dass alle Iterationspunkte innerhalb der zulässigen Menge liegen, die von den strikt zulässigen Nebenbedingungen beschrieben wird. Durch die Einführung zweier flexibler Asymptoten wird der zulässige Bereich der Teilprobleme zusätzlich eingeschränkt. Das resultierende Teilproblem besitzt eine eindeutige Lösung und kann aufgrund seiner besonderen Struktur effizient mit Inneren Punkte Methoden gelöst werden. Das Verfahren SCPF wurde auf Probleme der Freien Materialoptimierung angewendet und hat Probleme mit bis zu 120.000 Variablen und 60.000 Nebenbedingungen erfolgreich gelöst. Außerdem können globale Konvergenzeigenschaften für convexe strikt zulässige Nebenbedingungen gezeigt werden.