On the minimum diameter of plane integral point sets

Since ancient times mathematicians consider geometrical objects with integral side lengths. We consider plane integral point sets P, which are sets of n points in the plane with pairwise integral distances where not all the points are collinear. The largest occurring distance is called its diameter. Naturally the question about the minimum possible diameter d(2,n) of a plane integral point set consisting of n points arises. We give some new exact values and describe state-of-the-art algorithms tSince ancient times mathematicians consider geometrical objects with integral side lengths. We consider plane integral point sets P, which are sets of n points in the plane with pairwise integral distances where not all the points are collinear. The largest occurring distance is called its diameter. Naturally the question about the minimum possible diameter d(2,n) of a plane integral point set consisting of n points arises. We give some new exact values and describe state-of-the-art algorithms to obtain them. It turns out that plane integral point sets with minimum diameter consist very likely of subsets with many collinear points. For this special kind of point sets we prove a lower bound for d(2,n) achieving the known upper bound n^{c_2loglog n} up to a constant in the exponent.show moreshow less
Seit Jahrhunderten betrachten Mathematiker geometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen. Wir betrachten planare ganzzahlige Punktmengen. Dies sind endliche Teilmengen der Ebene, bei der je zwei Punkte einen ganzzahligen Abstand voneinander besitzen. Den größten Abstand einer solchen menge bezeichnet man als ihren Durchmesser. Natürlicherweise stellt sich die Frage nach dem kleinstmöglichen Durchmesser d(2,n) einer planaren ganzzahligen Punktmenge mit n Punkten. In diesem Artikel bestimmen Seit Jahrhunderten betrachten Mathematiker geometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen. Wir betrachten planare ganzzahlige Punktmengen. Dies sind endliche Teilmengen der Ebene, bei der je zwei Punkte einen ganzzahligen Abstand voneinander besitzen. Den größten Abstand einer solchen menge bezeichnet man als ihren Durchmesser. Natürlicherweise stellt sich die Frage nach dem kleinstmöglichen Durchmesser d(2,n) einer planaren ganzzahligen Punktmenge mit n Punkten. In diesem Artikel bestimmen wir einige exakte Werte von d(2,n) und beschreiben Algorithmen mit denen sie mit Hilfe von Computerunterstützung bestimmt werden können.show moreshow less

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Metadaten
Institutes:Mathematik
Author: Sascha Kurz, Alfred Wassermann
Year of Completion:2007
SWD-Keyword:Durchmesser; Kombinatorik
Tag:erschöpfende Suche; ganzzahlige Abstände; ordnungstreues Erzeugen
diameter; exhaustive search; integral distances; orderly generation
Dewey Decimal Classification:510 Mathematik
MSC-Classification:52C10 Erd}os problems and related topics of discrete geometry [See also 11Hxx]
53C65 Integral geometry [See also 52A22, 60D05]; differential forms, currents, etc. [See mainly 58Axx]
URN:urn:nbn:de:bvb:703-opus-4222
Document Type:Preprint
Language:English
Date of Publication (online):15.04.2008