Master equations in transport statistics: Success and failure of Non-Markovian and higher order corrections

Mastergleichungen in nicht markoffschem Transport: Erfolg und Misserfolg von nicht markoffschen Korrekturen und Korrekturen höherer Ordnung

• How can we gain a good description of coherent tunneling of electrons? This question arises as originally the master equation was made to describe sequential tunneling which is classical. The strength of master equations lies in the fact that they give an easy and good description of many particle effects within a mesoscopic system. However, this stength emerges because the coupling to the outside world is only approximately incorporated. Thus, a perfect description of tunneling processes into aHow can we gain a good description of coherent tunneling of electrons? This question arises as originally the master equation was made to describe sequential tunneling which is classical. The strength of master equations lies in the fact that they give an easy and good description of many particle effects within a mesoscopic system. However, this stength emerges because the coupling to the outside world is only approximately incorporated. Thus, a perfect description of tunneling processes into and out of the system is in general excluded. But methods have been developed that give systematic corrections to usual master equations, for example real time diagrammatics. Usually, when higher order corrections are incorporated this should lead to a remarkably better description of coherent tunneling processes. In this thesis we are dealing with a certain method to evaluate such corrections in a self-consistent way which was recently developed by Jonas Pedersen and Andreas Wacker. To be able to make statements about its accuracy we compare all results to the exact solution of a simple model in non-trivial realizations. To get a hint if also correlations will be described well, we investigate quantities form the field of Full Counting Statistics. A further possibility to improve master equations consists of including memory effects (also: Non-Markovian effects). They are created in the derivation of the master equation and often neglected afterwards. We will use a new formulation which simplifies the evaluation of Non-Markovian corrections and we test the results using the exact solution. Apart from the approximations we also present several exact solutions of our test model (a resonant level with a source and a drain of electrons). We use them to evaluate various physical quantities up to the frequency-dependent cumulants where it is especially easy to visualize the transition form purely sequential to purely coherent tunneling. We furthermore give an example of how interaction effects can be built into our exact solutions. The work concludes with statements about the solutions and approximations. Particularly, we suggest that one should incorporate all corrections considered here for systems with small bias, but that if the spectral properties are unusual one should be careful with master equations.
• Wie lässt sich kohärentes Tunneln von Elektronen gut mit Mastergleichungen beschreiben? Diese Frage stellt sich, weil Mastergleichungen ursprünglich für sequentielles, also klassisches Tunneln konzipiert wurden. Die große Stärke von Mastergleichungen liegt darin, dass sich mit ihnen sehr gut und einfach Mehrteilchen-Wechselwirkungen innerhalb eines mesoskopischen Systems beschreiben lassen. Diese Stärke beruht allerdings darauf, dass die Kopplung zur Außenwelt nur näherungsweise berücksichtigt wWie lässt sich kohärentes Tunneln von Elektronen gut mit Mastergleichungen beschreiben? Diese Frage stellt sich, weil Mastergleichungen ursprünglich für sequentielles, also klassisches Tunneln konzipiert wurden. Die große Stärke von Mastergleichungen liegt darin, dass sich mit ihnen sehr gut und einfach Mehrteilchen-Wechselwirkungen innerhalb eines mesoskopischen Systems beschreiben lassen. Diese Stärke beruht allerdings darauf, dass die Kopplung zur Außenwelt nur näherungsweise berücksichtigt wird, so dass eine perfekte Beschreibung von kohärenten Tunnelprozessen in das System hinein oder aus dem System heraus im Allgemeinen ausgeschlossen ist. Allerdings wurden Methoden entwickelt, mit denen sich systematisch Korrekturen zur gewöhnlichen Mastergleichung berechnen lassen, etwa die Realzeit-Diagrammatik. Normalerweise sollten kohärente Tunnelprozesse deutlich besser beschrieben werden, wenn höhere Korrekturen berücksichtigt werden. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit einer bestimmten Methode, um solche Korrekturen selbstkonsistent auszurechnen. Sie wurde kürzlich von Jonas Pedersen und Andreas Wacker entwickelt. Um die Qualität der Korrekturen beurteilen zu können, vergleichen wir alle Ergebnisse mit der exakten Lösung eines einfachen Modells in nichttrivialen Realisierungen. Um Hinweise zu erhalten, ob auch Korrelationen zwischen Elektronen gut beschrieben werden, untersuchen wir Größen aus dem Gebiet der vollen Zählstatistik (Full Counting Statistics). Eine weitere Möglichkeit, Mastergleichungen zu verbessern, besteht darin, Gedächniseffekte (auch: nicht markoffsche Effekte) zu berücksichtigen. Diese werden bei der Herleitung der Mastergleichung erzeugt und häufig hinterher weggelassen. Wir verwenden neue Formalismen, die die Berechnung nicht markoffscher Korrekturen vereinfachen und testen die Ergebnisse anhand der exakten Lösung. Außer den Näherungen stellen wir auch mehrere exakte Lösungen unseres Testmodells vor (ein resonantes Niveau mit Zu- und Abfluss von Elektronen). Mit diesen berechnen wir verschiedene physikalische Größen bis hin zu frequenzabhängigen Kumulanten, bei denen sich besonders gut der Übergang von rein sequentiellem zu rein kohärentem Tunneln veranschaulichen lässt. Außerdem geben wir ein Beispiel, wie sich Wechselwirkungseffekte in die exakten Lösungen einbauen lassen. Die Arbeit schließt mit einer Beurteilung der untersuchten Lösungen und Näherungen, insbesondere mit der Empfehlung, bei kleinen Spannungen alle behandelten Korrekturen zu berücksichtigen, aber bei ungewöhnlichen spektralen Eigenschaften generell mit Mastergleichungen vorsichtig zu sein.