Pinning and Wetting Models for Polymers with (∇ + ∆)-Interaction

Pinning und Wetting Modelle für Polymere mit (∇ + ∆)-Interaktion

  • The thesis deals with the stochastic description of models motivated from the point of view of semi-flexible polymers. These are chain-like molecules build up from small molecular units (monomers) and, depending on the length-scale, displaying different flexibility properties. In particular, we are interested in the behavior of such a polymer chain in the proximity of an attractive environment, e.g. a membrane. An important question in this situation is whether the polymer sticks close to the meThe thesis deals with the stochastic description of models motivated from the point of view of semi-flexible polymers. These are chain-like molecules build up from small molecular units (monomers) and, depending on the length-scale, displaying different flexibility properties. In particular, we are interested in the behavior of such a polymer chain in the proximity of an attractive environment, e.g. a membrane. An important question in this situation is whether the polymer sticks close to the membrane (localization) or fluctuates away from it (delocalization). We consider a directed model of a polymer chain given by the spatial position of the i-th monomer in the d-dimensional space. The polymer is subject to an interaction with itself (semi-flexibility) as well as an interaction with the environment. The environment has an attractive effect and is represented by an m-dimensional subspace (reference plane). When touching the reference plane the polymer receives an energy-reward in the form of a pinning parameter. The interaction among individual monomers is represented by a mixture of gradient and Laplacian interaction with different interaction potentials. We call this model the pinning model and study particularly the localization behavior of the polymer in proximity of a reference plane. That means, we ask if a phase transition occurs by modifying the pinning parameter. In this case we would have a critical pinning value, such that above this value the polymer chain has a positive contact fraction at the reference plane (localization). On the other hand it would not be the case for a pinning parameter below the critical value (delocalization). This behavior additionally depends on the choice of the interaction potentials. Initially, we study the (1+1)-dimensional pinning model with Gaussian potentials. This model will then be extended to general interaction potentials being subject to some weak conditions. It turns out that in presence of the gradient interaction there is always a trivial phase transition, i.e. the critical pinning value is zero. This is remarkable, since in absence of the gradient interaction, it is known that the critical pinning value is strictly positive. Furthermore, we investigate the behavior of the pinning model in the proximity of an impenetrable membrane (wetting model). Here the polymer fluctuates above the reference plane that imposes a repulsive effect. We show that in this case a proper phase transition occurs. Moreover, we treat (1+d)-dimensional models with Gaussian potentials. Here one has an additional choice between different pinning subspaces that play a crucial role for the localization behavior. Finally, we are interested in the phase transition and its order at the critical pinning value. In this context the regularity of the so called free energy is of great importance.show moreshow less
  • Diese Arbeit befasst sich mit der stochastischen Beschreibung von Modellen, deren Motivation die so genannten semi-flexiblen Polymere bilden. Das sind langgestreckte mikroskopische Objekte, die aus einzelnen Molekülen (Monomeren) bestehen und, abhängig von der Längenskala, unterschiedliche Flexibilitätseigenschaften aufweisen. Wir interessieren uns speziell für das Verhalten einer solchen Polymerkette in der Nähe einer attraktiven Umgebung, z.B. einer Membran. Eine wichtige Frage in dieser SituaDiese Arbeit befasst sich mit der stochastischen Beschreibung von Modellen, deren Motivation die so genannten semi-flexiblen Polymere bilden. Das sind langgestreckte mikroskopische Objekte, die aus einzelnen Molekülen (Monomeren) bestehen und, abhängig von der Längenskala, unterschiedliche Flexibilitätseigenschaften aufweisen. Wir interessieren uns speziell für das Verhalten einer solchen Polymerkette in der Nähe einer attraktiven Umgebung, z.B. einer Membran. Eine wichtige Frage in dieser Situation ist, ob die Fluktuationen des Polymers stark genug sind, um es von der Membran loszureißen (Delokalisierung) oder ob es sich in der Nähe der Membran aufhalten wird (Lokalisierung). Wir betrachten ein gerichtetes Modell einer Polymerkette gegeben durch die räumliche Position des i-ten Monomers im d-dimensionalen Raum. Das Polymer unterliegt sowohl einer Wechselwirkung mit sich selbst (Semiflexibilität), als auch einer Wechselwirkung mit der Umgebung. Die Umgebung übt dabei eine anziehende Wirkung aus und wird durch einen m-dimensionalen Untervektorraum (Referenzebene) repräsentiert. Beim Kontakt mit der Referenzebene erhält das Polymer eine zusätzliche Belohnung durch einen Energiebonus in Form eines Pinning-Parameters. Die Interaktion zwischen den einzelnen Monomeren wird durch eine Mischung aus Gradienten- und Laplace-Interaktion mit unterschiedlichen Interaktionspotentialen repräsentiert. Dieses Modell nennen wir das Pinning-Modell. Wir studieren hier insbesondere das Lokalisierungsverhalten des Polymers an der Referenzebene. D.h., wir fragen ob bei wechselnder Anziehungskraft des Pinning-Parameters ein Phasenübergang zustande kommt. In diesem Fall gäbe es einen kritischen Pinning-Wert, sodass oberhalb dieses Wertes die Polymerkette eine positive Kontaktdichte an der Referenzebene besäße (Lokalisierung). Andererseits wäre dies nicht der Fall für den Pinning-Parameter unterhalb des kritischen Wertes (Delokalisierung). Dieses Verhalten ist zusätzlich abhängig von der Wahl der Interaktionspotentiale. Zunächst studieren wir das (1+1)-dimensionale Pinning-Modell mit Gaußschen Potentialen. Dieses Modell erweitern wir dann auf allgemeine Interaktionspotentiale mit sehr schwachen Bedingungen. Es stellt sich heraus, dass beim Vorhandensein einer Gradienten-Interaktion immer ein trivialer Phasenübergang besteht, d.h. der kritische Pinning-Wert liegt bei Null. Dies ist insofern bemerkenswert, als dass bei Abwesenheit des Gradienten-Potentials ein echt positiver kritischer Pinning-Wert bereits bekannt ist. Weiterhin untersuchen wir das Verhalten des Pinning-Modells in der Nähe einer undurchdringlichen Membran (Wetting-Modell). Hier fluktuiert das Polymer oberhalb der Referenzebene, die einen repulsiven Effekt ausübt. Wir zeigen, dass in diesem Fall ein echter Phasenübergang stattfindet. Im Weiteren betrachten wir (1+d)-dimensionale Modelle mit Gaußschen Potentialen. Hier hat man zusätzlich die Wahl an unterschiedlichen Referenzebenen, die eine entscheidende Rolle für das Lokalisierungsverhalten darstellen. Schließlich interessieren wir uns für den Phasenübergang und dessen Ordnung an dem kritischen Pinning-Wert. Hierbei spielt die Regularität der so genannten freien Energie eine wichtige Rolle.show moreshow less

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Metadaten
Author: Martin Hubert Borecki
URN:urn:nbn:de:kobv:83-opus-26636
Advisor:Prof. Dr. Jean-Dominique Deuschel
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2010/05/14
Publishing Institution:Technische Universität Berlin
Granting Institution:Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Date of final exam:2010/04/20
Release Date:2010/05/14
Tag:Pinning; Polymer Modelle; Wahrscheinlichkeitstheorie; Wetting
pinning; polymer model; probability theory; wetting
Institutes:Institut für Mathematik
Dewey Decimal Classification:510 Mathematik
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