The historical process of the spatial Moran model with selection and mutation

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2015-03-04
Issue Year
2015
Authors
Seidel, Peter
Editor
Abstract

We consider a spatial, locally finite and multitype population model, the Moran model, in which each individual of the population inhabits a site in geographic space and has a genetic type. The evolution of the population is given by migration, type-dependent mutation, resampling and selection, and the large population limit leads to a collection of spatially interacting Fleming-Viot processes. This thesis is dedicated to investigate the evolution of genealogical information of the Moran model forward in time. More precisely, we construct a path-valued Markov process, the historical process of the Moran model, in which we assign to each individual alive at time its extended ancestral line. The collection of extended ancestral lines contains the ancestral line of each individual and the genealogical distance of each pair of individuals alive at time . We analytically characterize the historical process of the Moran model by means of a well-posed martingale problem, where we have to use a refined Liggett-Spitzer space to describe the evolution of genealogical information of a locally finite Moran population. The main tool is a Feynman-Kac duality for the historical process of the Moran model. The dual process, which we call historical backward process, in a natural way generates the extended ancestral lines backward in time, where it is driven by new kinds of mechanisms compared to the known duals for the Moran model. It is the huge amount of genealogical information contained in the extended ancestral lines that gives rise to this historical backward process, however a functional of the historical backward process evolves as a (site,type)-marked coalescent if the initial site-type distribution in the Moran model is nice and there is no selection. The main result is a stochastic representation for the conditional law of the extended ancestral lines of a subpopulation alive at a fixed time given the site-type information of the subpopulation at this time in terms of a transformation of the historical backward process arising by a special change of measure, where the transformed backward process is a time-inhomogeneous Markov process which turns out to be time-homogeneous if the site-type information of the Moran model is in equilibrium. In addition, our special change of measure is a new way to transform a general Markov process and in a special case it is the compensated -transform of such a Markov process. As an application we obtain that the law of the extended ancestral lines of a subpopulation alive at time converges in the limit if the law of the site-type information of the population alive at time converges. In addition, we give an explicit representation for the expected fixation time of a -dimensional Fisher-Wright diffusion and determine for the case where the population is located at one site and there is neither mutation nor selection the distribution function for the conditional law of the genealogical distance of two individuals alive at time given the types of these two individuals at this time .

Abstract

Wir betrachten ein räumliches und lokal endliches Populationsmodell, das Moran-Modell, in welchem ein jedes der Individuen der Population einen geographischen Ort besiedelt und einen von endlich vielen verschiedenen genetischen Typen hat. Die Evolution der Population ist durch Migration, typenabhängige Mutation, Resampling und Selektion gegeben. Der Diffusionslimes führt zu einer Kollektion von räumlich interagierenden Fleming-Viot-Prozessen. In dieser Dissertation widmen wir uns der Untersuchung der Evolution genealogischer Information vorwärts in der Zeit. Wir konstruieren explizit einen pfadwertigen Markovprozess, den historischen Prozess des Moran-Modells, wobei wir jedem Individuum, welches zur Zeit lebt, seine erweiterte Ahnenlinie zuweisen. Die Kollektion von erweiterten Ahnenlinien enthält sowohl die Ahnenlinie eines jeden Individuums als auch die genealogische Distanz eines jeden Paares von Individuen, die zur Zeit leben. Wir charakterisieren den historischen Prozess des Moran-Modells analytisch mit Hilfe eines gut gestellten Martingalproblems, wobei wir einen weiterentwickelten Liggett-Spitzer-Raum verwenden, um die Evolution genealogischer Information einer lokal endlichen Population zu beschreiben. Das wichtigste Instrument ist eine Feynman-Kac-Dualität für den historischen Prozess des Moran-Modells. Der duale Prozess, welchen wir als historischen Rückwärtsprozess bezeichnen, erzeugt auf natürliche Weise die erweiterten Ahnenlinien rückwärts in der Zeit. Dabei wird der historischen Rückwärtsprozess, verglichen mit den bekannten dualen Prozessen des Moran-Modells, von ganz neuen Mechanismen gesteuert. Die von den erweiterten Ahnenlinien beschriebene enorme Menge an genealogischer Information ist der Grund für diesen historischen Rückwärtsprozess, jedoch evolviert ein Funktional des historischen Rückwärtsprozesses wie ein (Ort,Typ)-markierter Koaleszent, wenn die Orte und die Typen im Moran-Modell am Anfang schön verteilt sind und keine Selektion vorliegt. Das Hauptresultat ist eine stochastische Darstellung der bedingten Verteilung der erweiterten Ahnenlinien einer Teilpopulation, die zu einer festen Zeit lebt, gegeben die Ort-Typ Information der Teilpopulation zu dieser Zeit mittels einer Transformation des historischen Rückwärtsprozesses, die durch einen speziellen Maßwechsel zustande kommt. Dabei ist der transformierte Rückwärtsprozess ein im Allgemeinen zeitinhomogener Markovprozess, welcher aber zeithomogen ist, falls die Ort-Typ Information des Moran-Modells im Equilibrium ist. Zudem ist unser spezieller Maßwechsel, der in einem Spezialfall die kompensierte -Transformierte eines Markovprozesses ist, eine neue Art und Weise einen allgemeinen Markovprozess zu transformieren. Als Anwendung erhalten wir, dass die Verteilung der erweiterten Ahnenlinien einer Teilpopulation, die zur Zeit lebt, im Limes konvergiert, falls die Verteilung der Ort-Typ Information der Population zur Zeit konvergiert. Zudem geben wir eine explizite Darstellung für die erwartete Fixationszeit einer -dimensionalen Fisher-Wright Diffusion und bestimmen für den Fall, dass die Population an einem Ort lebt und es weder Mutation noch Selektion gibt, die bedingte Verteilung der genealogischen Distanz zweier Individuen, die zur Zeit leben, gegeben die Typen dieser zwei Individuen zur Zeit .

DOI
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