## C1 Continuous Methods in Computational Gradient Elasticity

### C1-stetige Methoden in der nummerischen Gradientenelastizität

• This thesis contains the presentation and the comparison of different C1 continuous numerical methods. These are a couple of C1 continuous finite elements, the isogeometric analysis (IGA) and the natural element method (NEM). They all have in common that their shape functions are directly or indirectly related to the Bernstein-Bezier representation of polynomial splines. The major goal of this work is the examination of the applicability of those methods to strain gradient elasticity. Therefore different problems occurring within the application of the methods are presented and demonstrated at relevant numerical benchmark tests. The errors are measured by the use of the L2, H1 and H2 SobolevThis thesis contains the presentation and the comparison of different C1 continuous numerical methods. These are a couple of C1 continuous finite elements, the isogeometric analysis (IGA) and the natural element method (NEM). They all have in common that their shape functions are directly or indirectly related to the Bernstein-Bezier representation of polynomial splines. The major goal of this work is the examination of the applicability of those methods to strain gradient elasticity. Therefore different problems occurring within the application of the methods are presented and demonstrated at relevant numerical benchmark tests. The errors are measured by the use of the L2, H1 and H2 Sobolev norms. These norms are computed by the use of analytical and numerical reference solutions. Within this thesis, a comprehensive comparison of the above mentioned numerical methods is presented. Furthermore, the IGA as well as some of the presented elements were applied to gradient elasticity for the first time. For the application of the finite element method, several ideas for the improvement are proposed. It is demonstrated that a simple enhancement of the linear geometry approximation of the subparametric C1 elements improves the absolute error as well as the rate of convergence. Furthermore, for the mesh construction of the isoparametric C1 elements a new linear mesh optimization algorithm is proposed. This algorithm again improves the performance of the elements, significantly. A complementary application is the Cahn-Hilliard equation. It is dicretized by the use of the NEM. Therefore, the C0 continuous Sibson interpolants as well as Farin's C1 interpolant are used to find the solution of the fourth order partial differential equation. For the application of the C0 continuous functions, a split of the PDE into a set of two coupled equations is used. By the use of a numerical example, it is demonstrated that the direct C1 continuous approach converges faster. Keywords: generalized continua, gradient elasticity, Cahn-Hilliard equation, Hermite elements, natural element method (NEM), isogeometric analysis (IGA), isoparametric C1 elements, mesh generation, simulation
• Die vorliegende Arbeit beinhaltet die Präsentation und den Vergleich verschiedener C1 stetiger numerischer Methoden. Dies sind mehrere C1 stetige finite Elemente sowie die "Isogeometric Analysis" (IGA) und die Methode der natürlichen Elemente (NEM). Als Gemeinsamkeit der Methoden kann die Tatsache angesehen werden, dass alle genutzten numerischen Verfahren direkt oder indirekt auf der Bernstein-Bezier Darstellung von polynomialen Splines beruhen. Das Hauptziel dieser Arbeit liegt dabei auf der Untersuchung der Anwendbarkeit der Methoden auf die Gradientenelastitität. Hierfür werden die oben genannten Verfahren anhand von relevanten numerischen Beispielen verglichen. Als Fehlermaß werden die Die vorliegende Arbeit beinhaltet die Präsentation und den Vergleich verschiedener C1 stetiger numerischer Methoden. Dies sind mehrere C1 stetige finite Elemente sowie die "Isogeometric Analysis" (IGA) und die Methode der natürlichen Elemente (NEM). Als Gemeinsamkeit der Methoden kann die Tatsache angesehen werden, dass alle genutzten numerischen Verfahren direkt oder indirekt auf der Bernstein-Bezier Darstellung von polynomialen Splines beruhen. Das Hauptziel dieser Arbeit liegt dabei auf der Untersuchung der Anwendbarkeit der Methoden auf die Gradientenelastitität. Hierfür werden die oben genannten Verfahren anhand von relevanten numerischen Beispielen verglichen. Als Fehlermaß werden die Sobolev-Normen L2, H1 und H2 genutzt. Diese Fehlernormen werden mit Hilfe von analytischen oder numerischen Referenzlösungen berechnet. In dieser Arbeit wird erstmals ein umfassender Vergleich der oben genannten Methoden präsentiert. Zudem werden die IGA und einige der präsentierten finiten Elemente erstmals auf die Gradientenelastizität angewendet. Bei der Anwendung der Methode der finiten Elemente werden unterschiedliche Verbesserungsvorschläge präsentiert. Zum einem wird gezeigt, dass eine einfache Verbesserung der linearen Geometrieapproximation für die subparametrischen C1 Elemente sowohl den absoluten Fehler, als auch die Konvergenzraten wesentlich beeinflussen kann. Für die Netzgenerierung von isoparametrischen C1 Elementen wird ein neuer linearer Optimierungsalgorithmus vorgeschlagen, der die numerischen Ergebnisse signifikant verbessert. Als Zusatzanwendung wird die Cahn-Hilliard Gleichung mit Hilfe der NEM diskretisiert. Dazu werden sowohl die C0 stetigen Sibson-Interpolationsfunktionen als auch Farins C1 stetige Interpolierende verwendet. Mit Hilfe letzterer kann die partielle Differentialgleichung vierter Ordnung direkt gelöst werden. Für die Anwendung der C0 stetigen Funktionen wird eine Aufspaltung der PDE in zwei gekoppelte Gleichungen durchgeführt. Hierbei kann anhand eines numerischen Beispiels gezeigt werden, dass die direkte Berechnung mit Hilfe von C1 stetigen Ansatzfunktionen schneller konvergiert. Schlagwörter: Generalisierte Kontinua, Gradientenelastizität, Cahn-Hilliard Gleichung, Hermite Elemente, Methode der natürlichen Elemente (NEM), Isogeometric Analysis (IGA), isoparametrische C1 Elemente, Netzgenerierung, Simulation