»Bubbling off« für konform invariante Funktionale höherer Ordnung

Language
de
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2011-07-29
Issue Year
2011
Authors
Nerf, Andreas J.
Editor
Abstract

In the present work we deal with the minimization of conformally invariant higher order functionals in homotopy classes, and we investigate the reasons for the possible lack of minimizers. More precisely, we study a conformally invariant version of the higher order Dirichlet energy on , called the Paneitz functional (where denotes a smooth, compact submanifold of ). We will prove that every minimizing sequence for in a given homotopy class splits –~in the limit~– into finitely many “bubbles”, that is into mappings () with the following properties: \begin{itemize} \item{\bf Energy identity:} \begin{equation*} \sum_{\ell=0}^{\mathcal{B}} P_{2m} (u^\ell) = \inf \bigl{ P_{2m} (u) : u\in \alpha \bigr}. \end{equation*} \item{\bf Topological decomposition:} the homotopy classes of the bubbles add up to (in the sense of topological decomposition of free homotopy classes). \item{\bf Minimizing property:} the bubbles are minimizing in the respective homotopy class. \end{itemize} Thus, considering a weakly convergent minimizing sequence for the Paneitz functional in , we identify the separation of bubbles as the \emph{only} possible obstruction for the weak limit to be a minimizer. Our result may also be viewed as an existence result for minimizers of in non-trivial homotopy classes (possibly different from ). The central technical tool for the proof of the bubbling result is a \emph{gluing lemma} for mappings () in close-to-critical dimensions, that is for the case : We construct a mapping on the cylinder () which interpolates between given -valued boundary data on . Here, both the distance to and the -norm of the interpolation map can be controlled in terms of the the boundary data (and the parameter ).

Abstract

In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen konform invariante Funktionale höherer Ordnung in Homotopieklassen minimiert werden können und welche Mechanismen das Auffinden eines Minimierers verhindern. Im Zentrum unserer Betrachtungen steht das Paneitz-Funktional –~eine konform invariante Verallgemeinerung der Dirichlet-Energie in höherer Ordnung~– auf dem Sobolev-Raum ( bezeichne dabei eine glatte, kompakte Untermannigfaltigkeit des ). Wir werden zeigen, dass bei Minimalfolgen $(u_k){k\in \mathbb{N}} \subset W^{m,2}(S^{2m},N) $ von $P{2m} $ in einer vorgegebenen Homotopieklasse ein topologischer Zerfall in endlich viele sogenannte „Blasen“ auftritt, d.,h. in Abbildungen (), für die gilt: \begin{itemize} \item {\bfseries Energie-Identität:} \begin{equation*} \sum_{\ell = 0 }^{\mathcal{B}} P_{2m} (u^\ell) = \inf \bigl{P_{2m} (u) : u\in \alpha\bigr}. \end{equation*} \item {\bfseries Topologische Zerlegung:} Die Homotopieklassen der Blasen addieren sich (im Sinne der topologischen Zerlegung freier Homotopieklassen) zu auf. \item {\bfseries Minimierereigenschaft:} Die Blasen sind Minimierer in ihrer jeweiligen Homotopieklasse. \end{itemize} Wir identifizieren dadurch das Auftreten von Blasen als die \emph{einzig mögliche} Ursache, die verhindert, dass eine schwach konvergente Minimalfolge des Paneitz-Funktionals gegen einen Minimierer in konvergiert, und liefern zugleich eine Existenzaussage für Minimierer von in nichttrivialen Homotopieklassen. Zentrales technisches Hilfsmittel für den Beweis dieses „Bubbling“-Resultates ist ein \emph{Verklebelemma} für -Abbildungen () nahe der kritischen Dimension, d.,h. für den Fall : Wir konstruieren auf dem Zylinder () eine -Abbildung, die zwischen vorgegebenen Randdaten auf mit Werten in interpoliert. Dabei können wir sowohl den Abstand der interpolierenden Abbildung zu als auch deren -Norm durch die Normen der Randdaten (und den Parameter ) kontrollieren.

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