## Regularizing Constraints for Mesh and Shape Optimization Problems

### Regularisierende Nebenbedingungen für Netz- und Formoptimierungsprobleme

• This work deals with two types of optimization problems in the context of finite element simulations: (a) an r-adaptive mesh optimization that improves the accuracy of finite element solutions of elastostatic boundary value problems. (b) the node-based shape optimization of elastostatic structures. Without an adequate regularization, it is often impossible to solve these optimization problems numerically. The main goal of this work is the development of regularization strategies that make both problems solvable. (a) r-Adaptive Mesh Optimization: The first part of this work deals with an r-adaptive mesh optimization that is based on the minimization of the (discretized) potential energy with This work deals with two types of optimization problems in the context of finite element simulations: (a) an r-adaptive mesh optimization that improves the accuracy of finite element solutions of elastostatic boundary value problems. (b) the node-based shape optimization of elastostatic structures. Without an adequate regularization, it is often impossible to solve these optimization problems numerically. The main goal of this work is the development of regularization strategies that make both problems solvable. (a) r-Adaptive Mesh Optimization: The first part of this work deals with an r-adaptive mesh optimization that is based on the minimization of the (discretized) potential energy with respect to the positions of the element nodes. Experience shows that it is usually not possible to solve the considered mesh optimization problems numerically with an optimization algorithm for unconstrained problems, for example, a BFGS method. The reason is that the numerical optimization process causes degenerate finite elements, which leads to a premature termination of the mesh optimization. To prevent element degeneration, a regularization technique based on distortion constraints was developed. The distortion constraints restrict the deformation of the finite elements that results from the mesh optimization and, thus, improve the solvability of the mesh optimization problems significantly. (b) Shape Optimization: One reason for the unsolvability of node-based shape optimization problems is that the shape change from the initial shape to the optimized shape is very large and not realizable with the given finite element mesh. This led to the idea to restrict the shape change. To accomplish this task, a special inequality constraint, a so called energy constraint, was developed. The energy constraint sets an upper limit to a fictitious mechanical strain energy that serves as a measure for the shape change. The larger the energy limit is chosen the larger is the admissible shape change. Apart from the energy constraint, no further regularization techniques are applied. Node-based shape optimization problems subject to the energy constraint can be solved with gradient-based optimization algorithms for problems with inequality constraints.
• Diese Arbeit befasst sich mit zwei Arten von Optimierungsproblemen, die im Zusammenhang mit Finite-Elemente-Simulationen auftreten: (a) Einer r-adaptiven Netzoptimierung, die die Genauigkeit der approximierten Lösung von elastostatischen Randwertproblemen verbessert. (b) Der knotenbasierten Formoptimierung elastostatischer Strukturen. Ohne eine geeignete Regularisierung ist es oft nicht möglich diese Optimierungsprobleme numerisch zu lösen. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung von Regularisierungsstrategien,die beide Probleme lösbar machen. (a) r-Adaptive Netzoptimierung: Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit einer r-adaptiven Netzoptimierung, die auf der MinimieDiese Arbeit befasst sich mit zwei Arten von Optimierungsproblemen, die im Zusammenhang mit Finite-Elemente-Simulationen auftreten: (a) Einer r-adaptiven Netzoptimierung, die die Genauigkeit der approximierten Lösung von elastostatischen Randwertproblemen verbessert. (b) Der knotenbasierten Formoptimierung elastostatischer Strukturen. Ohne eine geeignete Regularisierung ist es oft nicht möglich diese Optimierungsprobleme numerisch zu lösen. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung von Regularisierungsstrategien,die beide Probleme lösbar machen. (a) r-Adaptive Netzoptimierung: Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit einer r-adaptiven Netzoptimierung, die auf der Minimierung der (diskretisierten) potentiellen Energie bzgl. der Positionen der Elementknoten basiert. Die Praxis zeigt, dass es häufig nicht möglich ist, die betrachteten Netzoptimierungsprobleme mit einem Optimierungsverfahren für Probleme ohne Nebenbedingungen, z.B. einem BFGS-Verfahren, numerisch zu lösen. Der Grund ist, dass die numerische Optimierung degenerierte finite Elemente erzeugt, was zu einem Abbruch der Optimierung führt. Um die Degenierung der Elemente zu verhindern, wurde eine Regularisierungstechnik basierend auf Verzerrungsnebenbedingungen entwickelt. Die Verzerrungsnebenbedingungen sind Ungleichungsnebenbedingungen, die die Deformation der Elemente, die aus der Netzoptimierung resultiert, beschränken und so die Lösbarkeit der Netzoptimierungsprobleme deutlich verbessern. (b) Formoptimierung: Ein Grund für die Unlösbarkeit von knotenbasierten Formoptimierungsproblemen ist, dass die Formänderung von der Ausgangsform zur optimierten Form mit einem gegebenen Finite-Elemente-Netz nicht realisierbar ist. Daher entstand die Idee, die Formänderung zu beschränken. Um dies zu erreichen, wurde eine spezielle Ungleichungsnebenbedingung, eine Energienebenbedingung, entwickelt. Die Energienebenbedingung setzt einer fiktiven mechanischen Verzerrungsenergie, die als Maß für die Formänderung dient, eine obere Schranke. Je größer die Energieschranke gewählt wird, umso größer ist die zulässige Formänderung. Außer der Energienebenbedingung werden keine weiteren Regularisierungstechniken angewendet. Formoptimierungsprobleme, die der Energienebenbedingung unterworfen sind, können mit gewöhnlichen gradientenbasierten Optimierungsverfahren für Probleme mit Zwangsbedingungen gelöst werden.