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Show/Hide Abstract New methods for generating significance levels from multiply-imputed data (2010)
Christine Licht
Missing data are a ubiquitous problem in statistical analyses that has become an important research field in applied statistics. A highly useful technique to handle missing values in many settings is multiple imputation, that was first proposed by Rubin (1977, 1978) and extended in Rubin (1987). Due to the ongoing improvement in computer power in the last 10 years, multiple imputation has become a well known and often used tool in statistical analyses. However, obtaining significance levels from multiply-imputed data is still a problem, because the application of multiple imputation requires normally distributed or t-distributed complete-data estimators. Today there are basically three methods that extend the suggestions given in Rubin (1987). First, Li, Raghunathan, and Rubin (1991) proposed a procedure, in which significance levels are created by computing a modified Wald-test statistic that is then referred to an F-distribution. This procedure is essentially calibrated, but it requires access to the completed-data estimates and their variance-covariance matrices that may not be available with standard software. Second, Meng and Rubin (1992) proposed a complete-data two-stage-likelihood-ratio-test-based procedure that requires access to the code for the calculation of the log-likelihood-ratio statistics. Common statistical software does not provide access to the code in their standard analyses routines. Third, Li, Meng, Raghunathan, and Rubin (1991) developed an improved version of a method in Rubin (1987) that only requires the chi-square-statistics from a usual complete-data Wald-test. This method is only approximately calibrated and has a substantial loss of power compared to the previous two. There thus exist several procedures to generate significance levels in general from multiply-imputed data, but none of them has satisfactory applicability. Since many statistical analyses are based on hypothesis tests, especially on the Wald-test in regression analyses, it is very important to find a method that retains the advantages and overcomes the disadvantages of the existing procedures. Developing such a method was the aim of the present thesis. After providing a short introduction to multiple imputation theory and the existing methods to generate significance levels from multiply-imputed data, we present a new procedure that is based on a z-transformation. We analytically show that the z-transformation works for a one-sided z-test. By simulation we show that our new z-transformation is working well for all one-dimensional tests, because they can be linked to an F-test or to a z-test, respectively. Despite the success of this new z-transformation procedure in several practical settings, problems arise when multi-dimensional tests are performed. We develop and discuss a possible procedure to fix these problems. Based on a comprehensive simulation study we discover an interesting general statistical problem: Using a chi-square-distribution rather than an F-distribution, can lead to a not negligible error for small sample sizes, especially with larger dimensions of the estimator. This problem seems to be unnoticed until now. In addition, we show the influence of the sample size for generating accurate significance levels from multiply imputed data. We present an adjusted procedure, the componentwise-moment-based method, to easily calculate correct significance levels from multiply-imputed data under some assumptions. This procedure is related to one of the three existing methods and uses the small-sample degrees of freedom given in Barnard and Rubin (1999) componentwise. We examine this new method and the already existing procedures in detail and compare them with each other by an extensive simulation study with 55296 different situations given by the factorial design of our simulation study. We also compare the results with former simulation studies of Li, Raghunathan, Meng, and Rubin (1991, 1992), where they simulated draws from the theoretically calculated distributions of the test statistics. To analyze the behaviour of the four methods we perform an ANOVA to identify the most important factors for the distribution of the multiple imputation p-values. Afterwards we examine the rejection rates of the four methods with their originally proposed degrees of freedom and some further "method and degrees-of-freedom"-combinations and compare them with the particular nominal levels. We summarize the results of the simulation study in detail. Based on these results we give some practical advices for the data collector, for the imputer and for the data analyst, about how to calculate correct significance levels from multiply-imputed data. Finally, we give an overview of challenging tasks left for future research.
Show/Hide Abstract Numerische Klassifikation (Cluster Analyse) anhand nominaler, ordinaler oder gemischter Merkmale (2010)
Friedrich Vogel Rudolf Gardill
Numerische Klassifikation (oder Cluster Analyse) ist die Zuordnung einer Menge von Beobachtungen (Objekten) zu Teilmengen (Klassen oder Cluster), derart dass die Beobachtungen (Objekte), die einer Klasse angehören, in einem bestimmten Sinne einander ähnlich sind. Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen: Teil I „Theorie” und Teil II „Praxis”. Der erste Teil behandelt die theoretischen Grundlagen unseres neuen Klassifikationsprogramms ORMIX. Zunächst werden zwei Verfahren zur Bildung disjunkter Klassen erörtert: ein Austauschverfahren und ein hierarchisch-agglomeratives Verfahren. Dann werden Maße zur Messung der Güte eines Klassifikationsergebnisses im Detail diskutiert, insbesondere im Hinblick auf die Merkmalstypen: nominal, ordinal und metrisch. Die Gütefunktion für nominale und ordinale Merkmale basiert auf einem speziellen Streuungsmaß: der Entropie. Die Gütefunktion für metrische Merkmale basiert auf der Varianz. Das grundlegende Prinzip ist der Versuch der Minimierung der Streuung innerhalb der Klassen, so dass die Beobachtungen (Objekte) in derselben Klasse einander ähnlicher sind als die Beobachtungen (Objekte) verschiedener Klassen. Im Zusammenhang mit Problemen der Numerischen Klassifikation gibt es bei praktischen Anwendungen häufig gemischte Merkmale. Das heißt, die Objekte sind charakterisiert durch nominale und ordinale und metrische Merkmale. Um eine Gütefunktion für gemischte Merkmale zu konstruieren, ist zu beachten, dass die Gütefunktion für nominale und ordinale Merkmale auf der Entropie beruht, die Gütefunktion für metrische Merkmale aber auf der Varianz. Es ist nicht zulässig, diese Gütefunktionen zu addieren. Es kommt hinzu, dass die Varianz abhängt von den Skalen, auf denen die Merkmale gemessen werden. Es ist nicht möglich, metrische Merkmale derart zu skalieren, dass alle metrischen Merkmale im Prozess der Klassenbildung ein gleiches numerisches Gewicht haben; Standardisierung ist nur eine von vielen Möglichkeiten, sie liefert aber keine Gleichgewichtung. Aber es ist zulässig, metrische Merkmale in ordinale Merkmale zu transformieren. Die Ordinalisierung metrischer Merkmale wird detailliert erklärt. Es wird gezeigt, dass - nach der Ordinalisierung der metrischen Merkmale - alle Merkmale im Prozess der Klassenbildung ein gleiches maximales numerisches Gewicht ha-ben. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Anwendung unseres Programms ORMIX, das nominale, ordinale, metrische Merkmale (nach Ordinalisierung) und gemischte Merkmale verarbeiten kann. Zuerst wird erklärt, wie das Pro-gramm von der CD installiert werden kann. Im Kapitel „Dateneingabe” werden die Konstruktion und das Einlesen der Datenmatrix im Detail erläutert. Dann wird gezeigt, wie Datentransformationen (beispielsweise metrische in ordinale Merkmale) durchgeführt werden können. Nach diesen Transformationen kann eine hierarchisch-agglomerative Klassifikation oder eine iterative Klassifikation durch einen linken Mausklick gestartet werden. Einige Beispieldateien finden sich auf der CD. Die Bedienung des Programms ist einfach und meist selbsterklärend. Mit der (linken) Maustaste werden Berechnungen angestoßen und aus einer knappen Auflistung der Resultate ausführliche Detaildarstellungen ausgewählt. Ein Mausklick auf den Wert einer Gütefunktion öffnet ein Fenster mit dem Klassifikationsergebnis für die gewünschte Anzahl von Klassen und mit einer detaillierten Klassendiagnose. Die Klassifikationsergebnisse werden anschaulich in Tabellen zusammengefasst und als HTML-Seiten übersichtlich formatiert. Für die hierarchisch-agglomerative Klassifikation stehen zusätzlich Dendrogramme und ein Struktogramm zur Auswahl. Die rechte Maustaste führt zu Hilfeinformationen und ergänzenden auf den Kontext bezogenen Funktionen. Über die Zwischenablage von Windows können Daten mit anderen Programmen ausgetauscht werden.
Show/Hide Abstract Bayessche Betrachtung von erweiterten GARCH-Modellen (2010)
Daniel Wan Hussin
In der vorliegenden Arbeit werden die weit verbreiteten GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic)-Modelle aus Bayesianischer Sicht untersucht. GARCH-Modelle werden zur Modellierung und Prognose der Entwicklung von Finanzmarktdaten, wie beispielsweise Renditen im Zeitverlauf, verwendet. Die Schätzung der Modellparameter erfolgt meist mittels der Maximum-Likelihood (ML)-Methode bzw. der Quasi-Maximum-Likelihood (QML)-Methode. Diese Arbeit demonstriert anhand simulierter Datensätze, wie der Metropolis-Hastings-Algorithmus aus der Gruppe der Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)-Methoden verwendet werden kann, um die a posteriori Verteilung der Modellparameter zu schätzen. Es werden ausführlich die notwendigen Spezifikationen behandelt, insbesondere die verwendeten a priori Verteilungen, Vorschlagsdichten sowie die Startwerte. Das asymptotische Verhalten der ML-Schätzer der GARCH-Parameter wird in unterschiedlichen Simulationsstudien untersucht und mit den Ergebnissen der a posteriori Verteilung aus der Bayes-Schätzung verglichen. Ferner werden verschiedene Erweiterungen des GARCH-Modells ebenfalls aus der Sicht eines Bayesianers betrachtet. Zu diesem Zweck werden an simulierten Daten aus EGARCH-, GJR-, AP-ARCH-, T-GARCH- und TS-GARCH-Modellen unterschiedliche Simulationen zur MCMC-Schätzung durchgeführt, wobei auch unterschiedliche Verteilungsannahmen berücksichtigt werden. Das beschriebene MCMC-Verfahren wird außerdem an zwei multivariaten GARCH-Modellen demonstriert. Die Wahl eines geeigneten Modells ist entscheidend für die Qualität der Modellierung und damit auch für die Prognose der Volatilität. Deswegen werden abschließend unter Verwendung realer Datensätze unterschiedliche Verfahren zur Modellselektion im Bayesianischen Kontext demonstriert. Es zeigt sich, dass viele Zeitreihen gar nicht lang genug sind, um den asymptotischen Verteilungen der typischerweise verwendeten ML-Schätzer Genüge zu leisten, so dass in vielen Fällen eine Bayesianische Analyse vorzuziehen ist.

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